实变函数 第二章点集 习题讲解
习题讲解 第二章 点集
1开集减闭集的差集是开集, 闭集减开集的差集是闭集 证明:利用A-B=A∩B, 开集的余集是闭集,闭集的余集是开集, 以及有限个开集的交仍是开集, 有限个闭集的交仍是闭集即得。 差:A-或AB={x:x∈A但xgB A∩B={x:x∈A且x∈B A-B=AOB
1 开集减闭集的差集是开集， 闭集减开集的差集是闭集 证明：利用A-B=A∩Bc ， 开集的余集是闭集，闭集的余集是开集， 以及有限个开集的交仍是开集， 有限个闭集的交仍是闭集即得。 AB ={x : x A且xB} 差：A−B或A\ B ={x : x A但xB} c A− B = AB
2每个闭集必是可数个开集的交, 每个开集必是可数个闭集的并 证明:设E为闭集,取=Ox, 则Gn为开集,E∈G E 从而Ec∩Gn,下证⌒GcE n=1 =1 任取 x∈∩G,则1,有x∈G=∪O ∈E 进一步有丑x∈E,使得x∈O3,即1x2-xk
2 每个闭集必是可数个开集的交， 每个开集必是可数个闭集的并 E G Gn E n n n = =1 1 从而 ,下证 Gn E 1 1 1 ( , ) 1 1 ( , ) , , , , , | | n n n n n x n x E n n x n x G x G O x E x O x x = = − 则 有 进一步有 使得 即 任取 ( , ) 1 n x E n G O x = E Gn 证明：设E为闭集，取 则Gn为开集
任取 ∈∩G,则V1,有x∈G=∪O n- x∈E(x) 进一步有xn∈E,使得x∈O11即1x-xk 从而中点列{x2}使得mx=x 再由E为闭集,可得x∈E 从而每个闭集必是可数个开集的交, E 通过取余集即得每个开集必是可 数个闭集的并
Gn E 再由E为闭集，可得x∈E 从而每个闭集必是可数个开集的交， { } lim n n n E x x x → 从而 = 中点列 使得 通过取余集,即得每个开集必是可 数个闭集的并. 1 1 1 ( , ) 1 1 ( , ) , , , , , | | n n n n n x n x E n n x n x G x G O x E x O x x = = − 则 有 进一步有 使得 即 任取
3设f(X)是直线上的实值连续函数,则对任意常数 a,E={xf(x)>a}是开集,而E{f(x)≥a是闭集 要证E=(x)>a}是开集,只要证E中的点都为内点 证明:任取x0∈E={x(x)>a},则f(x0)>a2 由邱(x)在x处连续及极限的保号性知, 存在6>0,当x-x0<6时,有fx)>a f(x0) 即O(x0,)∈E={xfx)=a} f(x0)-8 即x0为E的内点,从而E为开集 类似可证{xx)<a}为开集, 从而{x(x)a}={xfx)<a}是闭集
3 设f(x)是直线上的实值连续函数，则对任意常数 a，E={x|f(x)>a}是开集，而E1={x|f(x)≥a}是闭集 要证E={x|f(x)>a}是开集，只要证Ｅ中的点都为内点 ( ) x０ f(x0 )+ε f(x0 ) f(x0 )-ε a 由f(x)在x0处连续及极限的保号性知， 存在δ>0,当|x-x0 |< δ时,有f(x)>a 证明：任取x0 ∈ E ={x|f(x)>a},则f(x0 )>a, 类似可证{x|f(x)<a}为开集, 从而{x|f(x)≥a} ={x|f(x)<a}c是闭集 即O(x0 , δ) ∈ E ={x|f(x)>a}, 即x0为E的内点，从而E为开集；