实变函数 第三章测度论 第二节可测集
第二节 可测集 第三章 测度论
Lebesgue外测度(外包) mE=inf(∑|1|:Ec∪1且l为开区间} E>0,开区间列{1},使得Ec∪1且mE≤>|1|≤mE+E i=1 即:用一开区间列“近似”替换集合E 次可数可加性(即使An两两不交) m(,An)≤∑mAn n=1
Lebesgue外测度(外包) n n n n m A m A * 1 1 * ( ) = = 次可数可加性(即使Ａn两两不交) inf{ | |: } 1 1 i i 且 i 为开区间 i i m E I E I I = = = 即：用一开区间列“近似”替换集合E + = = I E I m E I m E i i i i i * 1 * 1 0, 开区间列{ },使得 且 | |
1可测集的定义 若vTcR",有mT=m(T∩E)+m(T∩E ( Caratheodory条件),则称E为 Lebesgue可测集, 此时E的外测度称为E的测度,记作mE E T∩E|T∩E 注: Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集 但此方法对处理问题很不方便,故我们采用上述方法
1.可测集的定义 注：Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集， 但此方法对处理问题很不方便，故我们采用上述方法。 E E c T∩E T∩Ec , n 若T R ( ) ( ) * c m T = m T E + m T E 有 mE （Caratheodory条件） ，则称E为Lebesgue可测集， 此时E的外测度称为E的测度，记作
例:零集E必为可测集 证明:vTcR 有mT≤m(TE)+m(T⌒E ≤m(E)+m()≤m(T 从而mT=m(TE)+m:(T∩E 即E为可测集。 下TcR,有m7=m(T⌒E)+m(T∩E)
例：零集E必为可测集 * * * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c m T m T E m T E m E m T m T + + 有 n 证明：T R * ( ) ( )c m T m T E m T E 从而 = + 即E为可测集。 , ( ) ( ) n * c T R m T = m T E + m T E 有
2 Lebesgue可测集的性质 a)集合E可测(即TcR",有mT=m(⌒E)+m(T∩E) ∨AcE,BCE,有m(A∪B)=m'(4)+m(B) 证明:(充分性)TcRn 令A=T∩E,B=T⌒E即可 (必要性)令T=A∪B
2.Lebesgue可测集的性质 证明：(充分性） n T R 令A = T E,B = T E c 即可 (必要性)令 T = A B A E,B E c ,有 ( ) ( ) ( ) * m A B = m A + m B , ( ) ( ) n * c T R m T = m T E + m T E （ 有 a）集合E可测（即 ）