实变函数 第五章积分论 第二节 Lesbesgue积分的极限定理
第二节 Lesbesgue积分的极限定理 第五章 积分论
1.Leⅵi逐项积分定理 若f(x)为E上非负可测函数列, f1(x)≤2(x)≤f3(x)≤…≤fn(x)≤…,且 lim f(x)=f(x) n→)00 则lmnf(x)x=mnf(x) n→>∞JE E n→)00 X 说明:小于等于显然成立, f(x) 因为f(x)总在fx)的下方, 只要证明大于等于,但一般而 言f(x)不会跑到fx)上方,所以 我们有必要先把fx)下移一点。 注意:当f(x)致收敛fx)时, f(x)才会整体跑到x)上方
1.Levi逐项积分定理 → → = E n E n n n 则lim f (x)dx lim f (x)dx 只要证明大于等于，但一般而 言fn (x)不会跑到f(x)上方,所以 我们有必要先把f(x)下移一点。 f(x) cf(x) fn (x) 注意：当fn (x)一致收敛f(x)时， fn (x)才会整体跑到f(x)上方。 ( ) ( ) ( ) ( ) , lim ( ) ( ) 1 2 3 f x f x f x f x f x f x n n n = → 且 若fn (x)为E上非负可测函数列， 说明：小于等于显然成立， 因为fn (x)总在f(x)的下方
Leⅵ逐项积分定理的证明 证明:由条件知fx)为E上非负可测函数递增列, 所以m有定义,又(≤1(Mn=123 故加m!Ax)有定义,且从函数列的渐升性知道 imnf(x)x≤f(x)x= m f(x)dx n-∞JE E E n→>00 下证大于等于号 引理1:设E是递增集列,E=∪Enx是R上的非负可测简单 函数,则 lim Lo(x)dx=Lp(x)dx n)00JE 引理2:设x)是E上的非负可测函数,A是E中可测子集,则 f(x)dx=Lf(x)xA(x)ax E
Levi逐项积分定理的证明 = n→ E E x dx x dx n lim ( ) ( ) 引理1：设{En}是递增集列， 是Rn上的非负可测简单 函数，则 , ( ) 1 E E x n n = = f x dx f x dx f x dx n E E n n n E lim ( ) ( ) lim ( ) → → = 引理2：设f(x)是E上的非负可测函数，A是E中可测子集，则 = E A A f (x)dx f (x) (x)dx 证明：由条件知fn (x)为E上非负可测函数递增列， f (x)dx f +1 (x)dx,n =1,2,3, E n E 有定义，又 n f x dx n E n lim ( ) → 所以 → E n n 故lim f (x)dx 有定义，且从函数列的渐升性知道 下证大于等于号
Leⅵ逐项积分定理的证明 ∫(=甲3为E上的简单函数050)/0 证明:令c满足0<c<1,(x)是R上的非负可测 简单函数,且(x)≤∫(x) 记En={x∈E|fn(x)≥c四(x)} X 则{En}是递增集列, cop(X 且imE.=∪E.=E h=-1h 由引理1知 lim cL o(x)dx=cL o(x)dx n→)
Levi逐项积分定理的证明 E {x E | f (x) c (x)} 记 n = n ( ) sup{ ( ) : ( ) 0 ( ) ( )} E E f x dx x dx x E x f x = 为 上的简单函数， (x) f (x) 证明：令c满足0<c<1， (x) 是Rn上的非负可测 简单函数，且 E En E n n n = = → =1 且lim 则{En}是递增集列， = n→ E E c x dx c x dx n lim ( ) ( ) 由引理1知 cφ(x) f(x) fn (x) φ(x)
Leⅵ逐项积分定理的证明 En={x∈El!(x)≥c0(x) 于是从(应用引理2) X f(x)dx2 f(x)xe,(xdx E E f( fn(x)dx elco(x)dx=cL p(r)idx E E cop(X 得到血n/(x)2c!9(x 令c→则有m[(xk≥[(xh n→>odE 再由的积分定义知mJf(x≥f(x 所以 im.fn(xx f(x)a n->o0 JE E
Levi逐项积分定理的证明 → E E n n 得到lim f (x)dx c (x)dx c f x dx x dx E E n n → → 令 1,则有lim ( ) ( ) f x dx f x dx E E n n = → 所以lim ( ) ( ) E {x E | f (x) c (x)} n = n f x dx f x dx E n n E lim ( ) ( ) 再由的积分定义知 → ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) = = n n n n E E E n E n E E n f x dx c x dx c x dx f x dx f x x dx 于是从（应用引理2） f(x) φ(x) cφ(x) fn (x)