《突变函数》课程教学资源（讲义）第五章 积分论（5.1）Lesbesgue积分的定义及性质

实变函数 第五章积分论 第一节 Lesbesgue积分的定义及性质

第一节 Lesbesgue积分的定义及性质 第五章 积分论

1积分的定义 (1)非负简单函数的积分 设风x)=2x(是E=E(E可测且两两不交) 非负简单函数,定义(L)9(x)x=2cmE 为(x)在E上的 Lebesgue积分 例:对 Dirichlet函数 D(x)=10x101-2 LD(2=10+01=0

1.积分的定义 i n i i E L  x dx c mE = = 1 ( ) ( ) (x) i n i E E =1 ( ) ( ) =  1 x c x Ei n i   i  = 设 = 是 ( Ei可测且两两不交） 上非负简单函数，定义 为 在E上的Lebesgue积分 ( ) ( ) =10+01= 0  L D x dx E 有  x Q x Q D x   =  − 1 [0,1] 0 [0,1] ( ) 例：对Dirichlet函数 0 1 ⑴非负简单函数的积分

2)非负可测函数的积分 设f(x)为E上非负可测函数,定义 (D)f(x)x=sup(D)o(x)t:9(x)为E上的简单函数 0≤(x)≤f(x)} 为x)在E上的 Lebesgue积分 若fx)是E上的可测函数则fx)总可表示成一列 简单函数网(的极限(对)=m(,而且还 可办到(x)图a(3)

⑵非负可测函数的积分 ( ) ( ) sup{( ) ( ) : ( ) 0 ( ) ( )} E E L f x dx L x dx x E x f x    =     为 上的简单函数 ， 为f(x)在E上的Lebesgue积分 设f(x)为E上非负可测函数，定义 |1 (x)||2 (x)| f (x) lim (x) n n  → {n (x)} = 若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列 简单函数 的极限 ，而且还 可办到

(3)一般可测函数的积分 设fx)为E上的可测函数,定义 DLf(xk=(D)L/"(xkx-DI/(xyh (要求(D)f(x,(D)/(x不同时为+) 为f(x)在E上的 Lebesgue积分(有积分) 注:当叫/有限时,称x)在E上L 积分的几何意义:(D)f(x0x=mG(E, G(E;f)={(x,y):x∈E,0≤y<f(x)}

⑶一般可测函数的积分 积分的几何意义： (L) f (x)dx mG(E; f ) E =  G(E; f ) ={( x, y): x E,0  y  f (x)} L f x dx E 注：当 ( ) ( ) 有限时，称f(x)在E上 L可积 （要求 (L) E f + (x)dx, (L) E f − (x)dx 不同时为 + ） 为f(x)在E上的Lebesgue积分（有积分） L f x dx L f x dx L f x dx E E E + − ( ) ( ) = ( ) ( ) −( ) ( ) 设f(x)为E上的可测函数，定义

2积分的性质 ()零集上的任何函数的积分为0 (2)(x)可积当且仅当(x)可积(f(x)是可测函数) 且f(xxf(x)k If(x)=f(x)-f(x) I f(x)l=f(x)+f(x) 3单调性:若(x)≤g(x,则/(x)xss(xx 4)线形[()+8)k=(x+8( a f(x)dx =al f(ds

⒉积分的性质 ( ) ( ) ( ) | ( ) | ( ) ( ) f x f x f x f x f x f x + − + − = − = + ⑴零集上的任何函数的积分为0 | ( ) | | ( ) | E E f x dx f x dx    ⑵ f(x)可积当且仅当|f(x)|可积（f(x)是可测函数）, 且 f x g x f x dx g x dx E E ⑶单调性 若 ( )  ( )，则 ( )  ( ) : f x dx f x dx f x g x dx f x dx g x dx E E E E E      = + = + ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )   ⑷线形: