实变函数 第五章积分论 第三节 Lesbesgue积分与 Riemann积分的关系
第三节 Lesbesgue积分与Riemann积分的关系 第五章 积分论
Riemann积分对定义域作分划 cb a im.(,) i=1 Xi-1 Xi yi Lesbesgue积分对分划 yi-1 (L). f(x)dx lim ξmE J[a, b] δ→0 i=1 本节主要内容: ●若f(x) Riemann可积,则f(x)在[a,b]上 Lebesgue可积,且积分值相等 ●f(x) Riemann可积当且仅当f(x)的不连续点全体为零测度集
yi yi-1 i n i i a b L f x dx mE = → = 1 [ , ] 0 ( ) ( ) lim Lesbesgue积分 对值域作分划 xi-1 xi i n i i T b a R f x dx = f x = → 1 || || 0 ( ) ( ) lim ( ) Riemann积分 对定义域作分划 本节主要内容: ⚫若f(x) Riemann可积，则f(x)在[a,b]上Lebesgue可积，且积分值相等 ⚫f(x) Riemann可积当且仅当f(x) 的不连续点全体为零测度集
Rieman可积的充要条件 f(x)在[a,b]上 Riemann可积 f(xh=m∑M△x=lmn∑mAx=C(x VE>0.3分割T,使得∑O△xse M1=sup{f(x):x21≤x≤x m2=n1f(x):x1≤x≤x} M-m
Riemann可积的充要条件 i i i i i i i i i M m m f x x x x M f x x x x = − = = − − inf{ ( ): } sup{ ( ): } 1 1 0 1 = i n i i T x 1 0, 分割 ，使得 i n i i T b a f x dx = M x = → 1 || || 0 ( ) lim m x f x dx b a i n i i T lim ( ) 1 || || 0 = = = → f(x)在[a,b]上Riemann可积
Darboux上、下积分 对a作分划序列 (n) (n) a=x0< (n) <x<∴<x (n) bn=12.3 7m)=max{x)-x:1≤i≤kn}lmn7m=0 n→>00 令(对每个及n) M(0)=sup((x):x≤xsx m,(n=inf(f(x): x 1Sx≤xm) Dmk积分f(xk=hm∑M"(x-x2 Darboux下积分cb f(x)x=im∑m1”( (n n→>00
Darboux上、下积分 对[a,b]作分划序列 T (n) : a = x0 (n) x1 (n) x2 (n) xk (n n ) = b n =1,2,3, | | max{ : 1 } lim | | 0 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) = − = → − n n n n i n i n T x x i k T inf{ ( ): } sup{ ( ): } ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) n i n i n i n i n i n i m f x x x x M f x x x x = = − − 令（对每个i及n） Darboux上积分 ( ) lim ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) n i n i k i n i n b a f x dx M x x n − = → = − ( ) lim ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) n i n i k i n i n b a f x dx m x x n − = → = − Darboux下积分 xi-1 xi
引理:设x)在[ab上为有界函数,记o(x)为a,b] 上的振幅函数,则 L n o(rod-/(xadr-5r'/(o)d Xi-I Xi 证明:由于(x)在[a,b]上为有界函数, 故o(x)为[a,b]上有界函数, 又对任意实数t,{x∈E:(x)≥为闭集 故ox)为ab上的可测函数,从而(x)L可积
引理：设f(x)在[a,b]上为有界函数，记ω(x)为[a,b] 上的振幅函数，则 x dx f x dx f x dx b a b a b a ( ) ( ) ( ) [ , ] = − 故ω(x)为[a,b]上的可测函数，从而f(x) L可积。 证明：由于f(x)在[a,b]上为有界函数， 故ω(x)为[a,b]上有界函数， 又对任意实数 {x E :(x) t} t， 为闭集， xi-1 xi