实变函数 第六章微分与不定积分 第一节单调函数与有界变差函数
第一节 单调函数与有界变差函数 第六章 微分与不定积分
引入微积分基本定理 ●若f(x)在[a,b]上连续,则 d x ((R)f(t)dt)= f(x) X Ja ●若F(x)在[a,b]上连续,则 a 本章的主要目的是要 在 Lebesgue积分理论中推广这一结果
引入 微积分基本定理 本章的主要目的是要 在Lebesgue积分理论中推广这一结果 ((R) f (t)dt) f (x) dx d x a = ⚫若f(x)在[a,b]上连续，则 (R) F'(t)dt F(x) F(a) x a = − ⚫若F ` (x) 在[a,b]上连续，则
主要内容 F(x)=() f()dt=() ()dt-()f ()d 为两个单调不减函数的差 ●单调函数的可微性:单调函数几乎处处有有限导数 有界变差函数(即两个单调不减函数的差) ●绝对连续函数(即能写成不定积分形式的函数)
主要内容 + − = = − x a x a x a F(x) (L) f (t)dt (L) f (t)dt (L) f (t)dt 为两个单调不减函数的差 ⚫ 单调函数的可微性：单调函数几乎处处有有限导数 ⚫ 有界变差函数（即两个单调不减函数的差） ⚫ 绝对连续函数（即能写成不定积分形式的函数）
1单调函数的可微性 Weierstrass在1772构造出 处处连续但无处可导的函数 f(x)=bs(azx)(其中0<b<1 且a为正奇数) ●定理设x)是[ab]上的单调不减函数,则f(x) 在[ab]上几乎处处存在有限导数,且 f(x)bx≤f(b)-f(a) la, b1 ●注:等号不一定成立 Koch曲线 即使f(x)是[a,b]上的 连续单调不减函数, 例如 Cantor函数
1 单调函数的可微性 ⚫ 定理 设f(x)是[a,b]上的单调不减函数，则f `(x) 在[a,b]上几乎处处存在有限导数，且 '( ) ( ) ( ) [ , ] f x dx f b f a a b − ⚫ 注：等号不一定成立， 即使f(x)是[a,b]上的 连续单调不减函数， 例如Cantor函数。 Weierstrass在1772构造出一 处处连续但无处可导的函数 f (x) b cos(a π x ) n n 0 n = = （其中 0 <b< 1 且 a为正奇数） Koch曲线
引入曲线的求长 参数曲线1=m0tea 分划7:a=1<t1<…<tn=b 折线长L()=2(0(4)-9(1)2+(v(1)v(1)3}2 ∑|q(t1)-(t1-1)和Σ|v(t1)-v(t1)都 ≤x{(()-9(1)2+(()-v()22 ≤E|(t1)-q(1-1)|+2|v(t1)-v(t1-1)
引入 曲线的求长 分划T：a = t 0 t 1 t n = b 2 1 ( ) {( ( ) ( ) ( ( ) ( ) } 2 1 2 1 1 − − = = i − i + i − i n i 折线长 L T t t t t 1 2 2 2 1 1 1 {( ( ) ( ) ( ( ) ( ) } n i i i i i t t t t − − = − + − | ( ) ( )| 1 1 − = i − i n i t t 和 | ( ) ( 1 )|都 1 − = i − i n i t t | ( ) ( )| 1 1 − = i − i n i t t | ( ) ( )| 1 1 − = + i − i n i t t ( ) ( ) [ , ] x t y t t a b = 参数曲线L： =