实变函数 第三章测度论 第一节外测度
第一节 外测度 第三章 测度论
1.引言 (1) Riemann积分回顾(分割定义域) 积分与分割、介点集的取法无关 几何意义(非负函 函数图象下方图形的 其中 x:三x:-x b x.1≤2≤x (R)f(x)dhx=hm∑f(5x |→>0
1.引言 i n i i T b a R f x dx = f x = → 1 || || 0 ( ) ( ) lim ( ) 其中 i i i i i i x x x x x = − − − 1 1 积分与分割、介点集的取法无关 几何意义（非负函数）： 函数图象下方图形的面积。 xi-1 xi (1) Riemann积分回顾（分割定义域）
新的积分( Lebesgue积分,从分割值域入手) E={x:y1≤f(x)<y y-1≤5;<V 用mE表示E的“长度” (LL,f(x)dx=lin 5;1 [a,b] 6-0 问题:如何把长度,面积体积概念推广?
新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手） i n i i a b L f x dx m E = → = 1 [ , ] 0 ( ) ( ) lim yi yi-1 { : ( ) } i i 1 i E = x y f x y − i i i y y −1 用 mEi 表示 Ei 的“长度” 问题：如何把长度,面积,体积概念推广?
c圆的面积 外切正n边形的面积(外包) 2兀 SIn In. 2 Rtg 2n R=丌 R2→>mR2(n→>∞) 2 COS 外切 内接 内接正n边形的面积(内填 2丌 2兀 2Rsin 2兀.RcOS n.R2→nR(n→> 2n 2n 2丌
•圆的面积 ( ) 2 2 sin 2 2 cos 2 2 2 sin 2 1 2 2 = R → R n → n n n R n n R 内接正n边形的面积（内填） 内接 ( ) cos 1 sin 2 2 2 2 1 2 2 = R → R n → n n n R n n Rtg 外切 外切正n边形的面积（外包）
达布上和与下和 上积分(外包) 达布上和的极限 f(x)tx=im∑M (R)f(x)dx=hmn∑f(·Rmm积分 |→>0 下积分(内填)达布下和的极限 f(x)dx m△ 7|-→>0
•达布上和与下和 • Riemann积分 i n i i T b a R f x dx = f x = → 1 || || 0 ( ) ( ) lim ( ) xi-1 xi i n i i T b a f x dx = m x = → 1 || || 0 ( ) lim 下积分（内填） 达布下和的极限 xi-1 xi i n i i T b a f x dx = M x = → 1 || || 0 ( ) lim 上积分（外包） 达布上和的极限