《突变函数》课程教学资源（讲义）第四章 可测函数（4.2）可测函数的收敛性

实变函数 第四章可测函数 第二节可测函数的收敛性

第二节 可测函数的收敛性 第四章 可测函数

1函数列的几种收敛定义 ()点收敛:记作→厅于E x∈E,VE>0,N>0,Vn≥N,有f(x)-f(x)k (2)一致收敛 VE>03N>0Vm≥N2x∈E,有/(x)-f(x)kE 注:近似地说一致收敛是函数列 收敛慢的程度能有个控制 XI 近似地说一致连续是函数图 象陡的程度能有个控制

⒈函数列的几种收敛定义   x E,  0,N x  0,n  N x ,有| f n (x) − f (x)| ⑵一致收敛:     0,N  0,n  N ,x E,有| f n (x) − f (x)| 注：近似地说一致收敛是函数列 收敛慢的程度能有个控制 近似地说一致连续是函数图 象陡的程度能有个控制 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 fn (x)=xn ⑴点点收敛: 记作 f n → f于E

例:函数列 f(x=xn 在(0,1)上处处收敛到 fx)=0但不一致收敛 但去掉一小测度集合 1-8,1),在留下的集合 上一致收敛

1 - δ 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.81 例：函数列 fn (x)=xn , n=1,2,… 在(0,1)上处处收敛 到 f(x)=0, 但不一致收敛 ， 但去掉一小测度集合 (1 -δ,1),在留下的集合 上一致收敛 fn (x)=xn

3几乎处处收敛:记作L→fae于 Almost everywhere) 即:去掉某个零测度集,在留下的集合上处处 (几乎一致收敛记作A→>fa于E( almost uniformly 卩:去掉某个小(任意小)测度集,在留下的集合上 δ>0,可测子集ecE,me<o, 使得f在E=E-e上一致收敛于f V>0,彐可测子集ecE,me< VE>0,N6>0,Vn≥N,x∈E-e,有f(x)-f(x)kE

⑶几乎处处收敛: 记作 f n → f a.e.于E (almost everywhere） f E E e f e E me 使得 n 在 上一致收敛于 可测子集 = −        0, ,  ,                − −       0, 0, , , | ( ) ( )| 0, , , N n N x E e f x f x e E me 有 n 可测子集 即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛 即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛 ⑷几乎一致收敛:记作 f n → f a.u.于E (almost uniformly) [ f → f ] = 0 n E

(依测度收敛:记作A→门E Vo>0,有 lim mEun-f2o 0 n→)00 o>0,Ve>0, No>0,Vn>Nso, A mEw,-/a<& 注:从定义可看出, ●几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛(除一零 测度集外 ●依测度收敛并不指出函数列在哪个点上的收敛,其要 点在于误差超过o的点所成的集的测度应随n趋于无穷 而趋于零,而不论点集的位置状态如何

⑸依测度收敛: 记作 注：从定义可看出， ⚫ 几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零 测度集外） ⚫ 依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛，其要 点在于误差超过σ的点所成的集的测度应随n趋于无穷 而趋于零，而不论点集的位置状态如何 f n  f于E   0, lim [| − | ] = 0 →  f f  n n 有 m E [| | ] 0, 0, 0, , n             N n N E    有 f f −  m