实变函数 第三章测度论 第三节可测集的结构
第三节 可测集的结构 第三章 测度论
例区间D是可测集,且m/ 证明见书本p66 零集、区间、开集、闭集、G型集(可数个开集的交) 型集(可数个闭集的并)、 Borel型集(粗略说:从开集出发 通过取余,取交或并(有限个或可数个)运算得到)都是可测集。 注:开集、闭集既是G型集也是F型集 有理数集是F型集,但不是G型集 无理数集是G型集,但不是F型集。 有理数集可看成可数个单点集的并,而单点集是闭集; 通过取余G型集与型集相互转化(并与交,开集与闭集互换
注：开集、闭集既是 型集也是 型集； 有理数集是 型集，但不是 型集； 无理数集是 型集，但不是 型集。 G G G F F F 有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集； 通过取余 G 型集与 F 型集相互转化（并与交，开集与闭集互换） 例 区间 I 是可测集，且 F 注：零集、区间、开集、闭集、 G 型集（可数个开集的交）、 型集（可数个闭集的并）、Borel型集（粗略说：从开集出发 通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。 证明见书本p66 mI =| I |
2.可测集与开集、闭集的关系 (1)若E可测,则∨E>0,开集G, 使得EcG且m(G-E)<E 即:可测集与开集、闭集只相差一小 (可测集“差不多”就是开集或闭集) 从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。 (2)若E可测,则∨E>0,闭集F, 使得F<E且m(E-F)<E
2. 可测集与开集、闭集的关系 即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集 （可测集“差不多”就是开集或闭集）， 从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。 − ( ) (1) 0, E G m G E E G 使得 且 若 可测，则 开集 ， − ( ) (2) 0, F E m E F E F 使得 且 若 可测，则 闭集
(1)若E可测,则VE>0,开集G(2)若E可测,则∨E>0,彐闭集F 使得EcG且m(G-E)<使得FcE且m(E-F)<E 证明:若(1)已证明,由E可测可知 NE>0开集G,使得ECG且m(G-E)<E 取F=G,则F为闭集FcE 且m(E-F)=m(E∩F m((e)nF)=m(F-e )=m(g-e)<a
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知 0, ( − ) c c 开集G，使得E G且m G E = = − = − − = (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c c c c c c m E F m F E m G E 且m E F m E F 取F=G c，则F为闭集 F E − ( ) (1) 0, E G m G E E G 使得 且 若 可测，则 开集 ， − ( ) (2) 0, F E m E F E F 使得 且 若 可测，则 闭集
(1)若E可测,则vE>0开集G,使得EcG且m(G-E)<E 证明(1)当mE<+时,由外测度定义知 E>0,3开区间列l},使得Ec∪1且mE≤∑|l|≤mE+E 令G=∪L,则G为开集,EcG,且 mE≤mGs∑m,s∑l|mE+6 从而(这里用到mE<+0) m(G-e)=mG-mE<&
(1).若E可测，则 证明:(1)当mE<+∞时，由外测度定义知 0,开集G，使得E G且m(G−E) 1 1 1 , | | i i i i i i G I G E G mE mG mI I mE = = = = + 令 则 为开集， ，且 m(G − E) = mG − mE 从而（这里用到mE<+∞ ） + = = I E I m E I m E i i i i i * 1 * 1 0, 开区间列{ },使得 且 | |