实变函数 第二章点集 第一节n维欧氏空间
第一节 n维欧氏空间 第二章 点集
1度量空间 ●定义:设X为一非空集合,d:X×X→R为一映射, 且满足 (1)d(xy≥0,dxy)=0当且仅当x=y(正定性) (2)dxy)=d(yx)(对称性) (3)dxy)≤d(xz)+d(zy)(三角不等式) 则称(Xd)为度量空间
⒈度量空间 ⚫ 定义：设X为一非空集合，d : X×X→R为一映射， 且满足 ⑴ d(x,y)≥ 0，d(x,y)=0当且仅当x = y（正定性） ⑵ d(x,y)=d(y,x) （对称性） 则称(X,d)为度量空间. ⑶ d(x,y)≤ d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）
例 0欧氏空间(Rn,d)其中1(x,)=(x-yy i=1 (2)离散空间(X,d),其中 d(,y)=o r 3C间(Cp表示闭区间ab上实值连 续函数全体),其中 d(, y)=max x(t)-y(t acts
例： ⑶ C[a,b]空间(C[a,b]表示闭区间[a,b]上实值连 续函数全体), 其中 d(x, y) max | x(t) y(t)| a t b = − = = − n i i i d x y x y 1 2 ⑴欧氏空间（ ( , ) ( ) R n , d）,其中 x y x y d x y = = 1 0 ( , ) { ⑵离散空间(X , d)，其中
2欧氏空间中各类点的定义 点P的邻域:Om={p(P,p)< P为E的接触点:V6>0有O(n∩E≠① 记E为E的闭包(接触点全体) P为E的聚点:>0有O(E-)≠4 记E为E的导集(聚点全体)接触点、聚点 不一定属于E P为E的狐立点:6>0使得O1nE=n E=E∪{E的孤立点全体}=E∪E 孤立点一定属于E
⒉欧氏空间中各类点的定义 E = E E = E E ' ' { 的孤立点全体} 接触点、聚点 不一定属于E 孤立点一定属于E { | ( , ) } 点P O( p0 , ) = p d p0 p 0的δ邻域： O( p , ) E 0 0, P 有 0为 E的接触点： 0, ( , ) ( −{ 0 }) 0 P 有O p E p 0为 E的聚点： 0, { } P0为 E的孤立点： 使得O( p0 , ) E = p0 记 E 为 E的闭包（接触点全体） 记 E' 为 E的导集（聚点全体）
欧氏空间中各类点的定义 P为E的内点:8>0.使得OnCE 记E为E的内部(内点全体) 内点一定属于E P为E的外点:6>0使得On2E=0 P为E的内点:即>0.使得Om=E P为E的边界点:下6>0有O10∩E≠①且Qm6E≠① 记E为E的边界(边界点全体)边界点不一定属于E
欧氏空间中各类点的定义 边界点不一定属于E 内点一定属于E c O( p , ) E 0 0, P0为 E 即 使得 c的内点: O( p , ) E 0 0, P0为 E的内点： 使得 O( p , ) E = 0 0, P 使得 0为 E的外点： c O( p , ) E O( p , ) E 0 0 0, P 有 且 0为 E的边界点： 记 E 为 E的内部（内点全体） 记E 为 E的边界（边界点全体）