实变函数 第 合 第三节可数集
第三节 可数集 第一章 集合
1可数集的定义 与自然数集N对等的集合称为可数 集或可列集,其基数记为 1 2,3,4,5,6 ,+,3,0, a1,a2,a3,a4,a5,a6,… 注:A可数当且仅当 A可以写成无穷序列的形式{a1,a2,a3,} 例:1)Z={0,1,-1,2,-2,3,-3,…} 2)[0,1]中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1525,}
注：A可数当且仅当 A可以写成无穷序列的形式{a1 , a2 , a3 , …} 1, 2, 3, 4, 5, 6,… a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , … 例：1）Z = {0，1，-1，2，-2，3，-3，…} 与自然数集N对等的集合称为可数 集或可列集，其基数记为 0 １可数集的定义 2）[0,1]中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …}
2可数集的性质(子集) 任何无限集合均含有可数子集 (即可数集是无限集中具有最小势的的集合) 假设这是一个无限集M 我们可以取出其中一个点a1 显然M\{a1}还是无限集 在MI{a1}中可以取出一点a2 显然M\{a1,a2}还是无限集 我们可以取出一个可数子集{a1323232,}
假设这是一个无限集M 我们可以取出其中一个点a1 显然M\{a1}还是无限集 在M\{a1}中可以取出一点a2 显然M\{a1，a2}还是无限集 我们可以取出一个可数子集{a1 ,a2 ,a3 ,...} 任何无限集合均含有可数子集 （即可数集是无限集中具有最小势的的集合) ２ 可数集的性质（子集）
推论可数集的子集或为有限集或为可数集 证明:设A是一个可数集,则A中的元素可以排列成 若A是A的有限子集,则得证 若A是A的无限子集,则A中的元素必是上述序列 中的一个无穷子序列: n1?n22n32 nk 2 从而A={an,an,an,…;an,是可数集
可数集的子集或为有限集或为可数集 证明：设A是一个可数集，则A中的元素可以排列成: a1 ,a2 ,a3 , ,an , 中的一个无穷子序列： 若 是 的无限子集，则 中的元素必是上述序列 若 是 的有限子集，则得证； * * * A A A A A an1 ,an2 ,an3 , ,ank , 从而A * ={an1 ,an2 ,an3 , ,ank , }是可数集。 推论
可数集的性质(并集) 有限集与可数集的并仍为可数集 有限个可数集的并仍为可数集 可数个可数集的并仍为可数集 Afar, a2,a3, a4,a5,a6 B={b1,b2,b3…bn 当集合有公共元素时 C={c1,C2C32C42C5,C2…} 不重复排。 假设A,B,C两两不交,则 A∪B={b1b2,b3,…,bn,a12a2,a3,…} A∪C={c1,a12C2a2,C32a3,…}
可数集的性质（并集） •有限集与可数集的并仍为可数集 A={a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , …} 当集合有公共元素时， 不重复排。 假设A，B，C两两不交，则 A∪B={ b1 , b2 , b3 , … , bn ，a1 , a2 , a3 , …} •可数个可数集的并仍为可数集 •有限个可数集的并仍为可数集 C= {c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , …} B={b1 , b2 , b3 , … ,bn} A∪C={ c1 , a1 , c2 , a2 , c3 , a3 , …}