《突变函数》课程教学资源（讲义）第一章 集合习题讲解

实变函数 第一章集合 习题讲解

习题讲解 第一章 集合

1对平面上的任意两个非有理点,一定存在一条 折线不过有理点 连接两非有理点,并作中垂线, 任取中垂线上一点,连接xz,zy 得到一条连接x,y的折线,这样 的折线有连续势条,而平面上的 有理点只有可数个,故一定存在 条折线不过有理点

1 对平面上的任意两个非有理点，一定存在一条 折线不过有理点 连接两非有理点，并作中垂线， 任取中垂线上一点z，连接xz，zy 得到一条连接x，y的折线，这样 的折线有连续势条，而平面上的 有理点只有可数个，故一定存在 一条折线不过有理点。 y x z

2设A中的元素是直线上两两不交的开区间, 则A为至多可数集 证明:由于有理数在直线上稠密,故可在 每个开区间内取一有理点,则这些有理 点两两不同,从而A与有理数集的一个子 集对等,另外有理数集是可数集,所以A 至多可数。 注意不能通过任取一个区间作为第一个然后左边最靠近 的作为第二个,右边最靠近的作为第三个,一直如此下去得 到所有开区间的一个排列(如 Cantor-集的余集)

2 设A中的元素是直线上两两不交的开区间， 则A为至多可数集 证明：由于有理数在直线上稠密，故可在 每个开区间内取一有理点，则这些有理 点两两不同，从而A与有理数集的一个子 集对等，另外有理数集是可数集，所以A 至多可数。 （ ） （ ） （ ） r 注意:不能通过任取一个区间作为第一个,然后左边最靠近 的作为第二个,右边最靠近的作为第三个,一直如此下去,得 到所有开区间的一个排列(如Cantor集的余集)

Cantor集 对[0,1区间三等分,去掉中间一个开区间, 然后对留下的两个闭区间三等分,各自去掉中间一个开区间, 此过程一直进行下去,最后留下的点即为 Cantor集 1

Cantor集 对[0,1]区间三等分，去掉中间一个开区间， 然后对留下的两个闭区间三等分，各自去掉中间一个开区间， 此过程一直进行下去，最后留下的点即为Cantor集

3设A∪B=N,则A,B中至少有一个势为N 证明:不妨设A∪B=R2(因为R2=N) 显然A≤N,B≤N,若A<N 则∨x∈R,(x,y)y∈R}A 所以∈R∈R,使(,y)∈B 从而B≥(x,y)x∈R}=N 由 Bernstein定理可知B=N 所以A,B中至少有一个连续势集

3 设A B =,则A，B中至少有一个势为 显然A ,B ,若A  则xR,{(x, y)| yR} A 所以xR,yx R,使(x, yx )B 从而B {( x, yx )| x R} = ( ) 2 2 证明：不妨设AB = R 因为R = x 由Bernstein定理可知 B =  所以A，B中至少有一个连续势集