§2逆函数和复合函数 《定义》:设Ⅹ→Y和g:W→Z是二个函数,若f(X)cW则: g。f={x,z外x∈X∧∈z∧彐y(y∈Y∧y=f(x)Az=8(y 称g在函数f的左边可复合。 讨论定义: (1)两个函数的复合是一个函数。 (2)函数g°f称为和g的左复合, 这里和习惯上符合函数的书写求得一致。 例:sin(nx,先求nx,然后求sn(nx)
§2逆函数和复合函数 《定义》：设f: X→Y和g:W→Z是二个函数，若 f (X ) W g f = { x,z | x X z Z y( y Y y = f (x) z = g( y))} 则： 称g在函数f的左边可复合。 讨论定义： (1)两个函数的复合是一个函数。 (2)函数 g f 称为f和g的左复合， 这里和习惯上符合函数的书写求得一致。 例：sin(ln x)，先求ln x，然后求sin(ln x)
§2逆函数和复合函数 《定理》:设fX→Y和g:Y→乙是二个函数,于是复合函数 g°f是一个从X到Z的函数,对于每一个x∈X有: (g°f)(x)=g(f(x) 证明:有定义可知g∫是从X→Z的函数,即 <x2z>∈gof(x) 设:X∈Ⅹ由f:X→Y得y=f(x) 设:y∈Y由gY→Z得z=9) 由y=f(x)入z=g(y)得:z=g((x)=(g°f)x)
§2逆函数和复合函数 《定理》：设f:X→Y和g:Y→Z是二个函数，于是复合函数 g f 是一个从X到Z的函数，对于每一个 x X 有： (g f )(x) = g( f (x)) 证明：有定义可知 g f 是从X→Z的函数，即 x,z g f (x) 设：x∈X 由f: X→Y得y=f(x) 设：y∈Y 由g:Y→Z得z=g(y) 由 y = f (x) z = g( y) 得： z = g( f (x)) = (g f )(x)
§2逆函数和复合函数 例:设X={1,2,3},Y={pq},Z={ab} f:Ⅹ→Y={<1,p><2p><3q>} g:Y→z={p,b>q,b>} 则 gf={1,b×<2,b><3,b>} g°f是X→Z的函数 上例的函数复合图为
§2逆函数和复合函数 例：设X={1,2,3}, Y={p,q}, Z={a,b} f: X→Y={<1,p><2,p><3,q>} g:Y→Z={<p,b><q,b>} 则： g f = {1,b 2,b 3,b } g f 是X→Z的函数 上例的函数复合图为：
§2逆函数和复合函数 X Y Z Y p qa b 3 f:X→Yg:Y-Z gof():X-Z ∴函数的复合运算不满足交换律
§2逆函数和复合函数 f: X→Y g:Y→Z g f (x) ：X→Z f g = ∴函数的复合运算不满足交换律
§2逆函数和复合函数 《定理》:函数的复合运算是可结合的, 即如果f,g,h均为函数,则有: ho (gof)=chog)of 证明:函数也是种二元关系, 元关系的复合是满足结合律的 函数的复合也是满足结合律的。 例:1是整数集合,f:|-→定义成f()=2+1,求复合函数 f3(i)并证明它满足结合律
§2逆函数和复合函数 《定理》：函数的复合运算是可结合的， 即如果f,g,h均为函数，则有： h (g f ) = (h g) f 证明：函数也是一种二元关系， ∵二元关系的复合是满足结合律的， ∴函数的复合也是满足结合律的。 例：I是整数集合，f：I→I定义成f(i)=2i+1，求复合函数 ( ) 3 f i 并证明它满足结合律