Chapter 5(2 次型及其标准形
Chapter 5(2) 二次型及其标准形
教学要求: 1.掌握二次型及其矩阵表示,了解二次型秩的概念; 2.掌握用正交变换化二次型为标准形的方法,了解 用配方法化二次型为标准形的方法
教学要求： 1. 掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念; 2. 掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，了解 用配方法化二次型为标准形的方法
二次型及其矩阵表示 二化二次型为标准形 K心
一 .二次型及其矩阵表示 二.化二次型为标准形
二次型及其矩阵表示 K心 1.定义 (1)含有n个变量x1,x2,…,x的二次齐次多项式 f(x1,x2,…,xn)=a1x2+2a12x1x2+…+2a1nx1xn +a2x2+2a23x2x3+…+2a2nx2xn + 1,n-1~n-1 +2 1,n~n-1~n 2 tannin 称为一个n元二次型(或x1,x2,…,xn的二次型) (2)只含有平方项的二次型称为二次型的标准形 f(1,y2,…,yn)=k1y2+k2y2+…+kny2
一 .二次型及其矩阵表示 1. 定义 ( ) 2 1, 1 2 1, 1 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , 2 2 nn n n n n n n n n n n n n n a x a x a x x a x a x x a x x f x x x a x a x x a x x + + + + + + + + = + + + − − − − − (1) 含有n个变量x1 , x2 , , xn的二次齐次多项式 ( , , , ) 称为一个n元二次型 或x1 x2 xn的二次型 (2) 只含有平方项的二次型称为二次型的标准形. ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 1 , , , n n n f y y y = k y + k y ++ k y
(3)当系数为实数时叫实二次型; 当系数为复数时叫复二次型 2.矩阵表示 f 2 =a11x1+a12X1X2 +…+a1nX1Xn +a12x12+a22x2+…+a2nx2Cn +aunxixn+,+,,flute =x1(a1x1+a12x2+…+a1nxn) +x2(a12x1+a22x2+.+a2nrn) 十 +xn(anx+a2nx2+.+annen) K心
(3) 当系数为实数时叫实二次型； 当系数为复数时叫复二次型. 2. 矩阵表示 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 n n n n nn n n n n n a x x a x x a x a x x a x a x x f a x a x x a x x + + + + + + + + + = + + + ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 n n n nn n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x + + + + + + + + + = + + +