解法2：若把围成的平面区域看成y一型区域：则左曲线为：x=y2右曲线为： x=2y+3,y一型区域面积的计算公式得面积A= [2y+3)- y ly=102y(t)+03二、由参数方程表示的曲线所围成平面图形的面积设区间[α,b]上的曲边梯形的曲边由方程由参量方程表示x=x(t), y=(t) α≤t≤8在[α，] 上y(t)连续，x(t)连续可微且 x(t)±0
6 ( ) . 3 2 2 3 10 2 3, , 2 3 1 2 2 − = + − = = + = A y y dy x y y y x y 域面积的计算公式得面积 右曲线为： —型区 —型区域：则左曲线为： 解法 ： 若把围成的平面区域看成 二、由参数方程表示的曲线所围成平面图形的面积 设区间 上的曲边梯形的曲边由方程由参量方程表示 y (t) 0 [a,b] 在 上 y t( ) 连续， x t( ) 连续可微且 x t ( ) 0
a=xα),b=x8)x()>0（对于 x(t)<0 的情况类似讨论）则A = f' 1 y(t) / x(t)dt = f' bv(t)x(t) / dt计算中，主要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常有两种方法：1）具体计算时常利用图形的几何特征2）从参数方程x=x()，=t）α≤t≤定义域分析确定x例2 求由椭圆1 所围成的面积。b2Q解
7 （对于 的情况类似讨论）则 计算中，主要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常 有两种方法： 1）具体计算时常利用图形的几何特征 2）从 参数方程 定义域 分析确定 2 2 2 2 1 x y a b 例2 求由椭圆 所围成的面积。 + = 解 | ( ) | ( ) | ( ) ( ) | b a A y t x t dt y t x t dt = = x t ( ) 0
例3 求摆线 x = α(t-sin t),y=a(l-cost),(a>O)的一拱与x 轴所围的平面图形的面积（如图阴影部分）12aCa2元aBG福由图看出，=0对应原点 （0，0），t=2π 对应一拱的终点(2元α,0），所以其面积为：23A= Ja(1-cost)[a(t-sin t)]'dt = Jα"(1- cost)"dt008
8 例3 求摆线 的一拱与x 轴 所围的平面图形的面积 (如图阴影部分) 由图看出, 对应原点 (0 , 0 ) , 对应一拱的终点 ,所以其面积为: x = a(t −sin t), y = a(1− cost),(a 0) (2a,0)
三、极坐标下平面图形的面积r =r(0)设曲线C由极坐标方程 r =r(の),θ [α,β]给出，其中r(の)在[α,β]r(0.)r(0B上连续，β-α≤2元．由曲线C与40两射线：θ=α、=β所围成的a平面图形的面积：Xr?()d6-和参数方程一样，极坐标情况面积的计算主要困难是积分上下限的确定。确定上下限方法通常也是成（见下页示图）1）利用图象：2）分析极坐标方程的定义域9
9 三、极坐标下平面图形的面积 A r d C r C r r = = = − = ( ) 2 1 2 . [ , ] ( ) [ , ] ( ) , 2 平面图形的面积： 两射线： 、 所围成的 上连续， 由曲线 与 给出，其中 在 设曲线 由极坐标方程 o r = r() ( ) = i−1 r = r( i ) r r i x 和参数方程一样，极坐标情况面积的计算主要困难是积分上 下限的确定。确定上下限方法通常也是 1）利用图象；2）分析极坐标方程的定义域 （见下页示图）
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