《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第十四章 幂级数 §1 幂级数

幂级数第十四章

第十四章 幂级数

S1幂级数厂教学目的：让学生掌握掌握幂级数的概念、运算和性质。厂教学重点：求幂级数的收敛半径，应用逐项积分、逐项微分定理求其和函数厂教学难点：应用逐项积分、逐项微分定理求其和函数教学方法：讲授法

教学目的：让学生掌握掌握幂级数的概 念、运算和性质 ． 教学重点：求幂级数的收敛半径，应用 逐项积分、逐项微分定理求其和函数． 教学难点：应用逐项积分、逐项微分定 理求其和函数． 教学方法：讲授法． §1 幂级数

一、幂级数的收敛区间8Za,(x-x)"的级数称为幂级数1. 定义：形如n=0Ea,x"，其中a,为幂级数系数.当x,= 0时,n=02. 收敛性：8Z.例如级数x" =1+x+x2+...n=0当x<1时,收敛;当x≥1时,发散收敛域(-1,1); 发散域(-80,-1]U[1,+8);

一、幂级数的收敛区间 1.定义: 形如 n n an (x x ) 0  0  = − 的级数称为幂级数. 0 , , 0 0 n n x an x  = 当 = 时 其中an为幂级数系数. 2.收敛性: 1 , 2 0  = + + +  = x x x n 例如级数 n 当x  1时,收敛; 当x  1时,发散; 收敛域(−1,1); 发散域(−,−1][1,+);

定理 1 (Abel 定理)8Za,x"在x=x,(x, * 0)处收敛,则如果级数n=0它在满足不等式x<x。的一切 处绝对收敛;8Za,x"在x=x,处发散,则它在满足如果级数n=0不等式x>x的一切 处发散证明(1)·Za,x收敛,, .. limanx"= 0,n→n=0

定理 1 (Abel 定理) 如果级数  n=0 n an x 在 ( 0) x = x0 x0  处收敛,则 它在满足不等式 x  x0 的一切x 处绝对收敛; 如果级数  n=0 n an x 在x = x0处发散,则它在满足 不等式 x  x0 的一切x 处发散. 证明 lim 0,  0 = → n n n (1) , a x 0  0 收敛  n= n  an x

日M,使得a,x"≤M(n = 0,1,2,...)2ntxx≤Ma1xsxoxo8·当Xx<1时，等比级数T收敛,Mx[xon=080o数a,x"收敛;:Eanx"收敛，即级数福n=0n=0

( 0,1,2, ) a x0  M n =  n 使得 n  M, n n n n n n x x a x a x 0 0 =  n n n x x a x 0 0 =  n x x M 0  1 , 0 当  时 x x  , 0 0 等比级数 收敛 n n x x  M  = , 0  收敛  =  n n an x ; 0 即级数 收敛  n= n an x