第十四章幂级数习题课
第十四章 幂级数 习题课
1、幂级数(1)定义R8Z形如an(x－x)"的级数称为幂级数n=080Z当x,= 0时,a,xn=0其中a,为幂级数系数
(1) 定义 形如 n n an (x x ) 0 0 = − 的级数称为幂级数. 0 , 当 x 0 = 时 其中 a n为幂级数系数. 1 、 n n n a x = 0 幂级数
(2) 收敛性定理1（Abel定理8Za,x"在x=x(x ±0)处收敛,则如果级数n=0它在满足不等式x<x的一切 处绝对收敛；8Z如果级数anx"在x= x处发散,则它在满足n=0不等式x>x的一切 处发散
如果级数 n=0 n an x 在x = x0处发散,则它在满足 不等式 x x0 的一切x 处发散. 定理 1 (Abel 定理) 如果级数 n=0 n an x 在 ( 0) x = x0 x0 处收敛,则 它在满足不等式 x x0 的一切x 处绝对收敛; (2) 收敛性
推论80如果幂级数a,x"不是仅在x=0一点收敛, 也n=0不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数R存在，它具有下列性质：当x<R时,幂级数绝对收敛；当x>R时,幂级数发散;当x =R与x =-R时,幂级数可能收敛也可能发散
如果幂级数 n=0 n an x 不是仅在x = 0一点收敛,也 不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数R存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当x = R与x = −R时,幂级数可能收敛也可能发散. 推论
定义：正数R称为幂级数的收敛半径幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间8a,x"的所有系数an0,定理 2如果幂级数n=0an+1设 lim^/lan=p(或lim=p)2n-→8an1(1) 则当p≠0时,R ==; (2)当p= 0时,R=+80;p(3) 当p= +时,R=0
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. 定理 2 如果幂级数 n=0 n an x 的所有系数an 0, 设 = → n n n lim a (或 = + → n n n a a 1 lim ) (1) 则当 0时, = 1 R ; (3) 当 = +时,R = 0. (2) 当 = 0时,R = + ;