《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第十九章 含参量积分 §2 含参量反常积分

在[8,+8)上一致收敛(其中S>0),但在(0,+8)内不一致收敛证作变量代换 u= xy，得sinusin xy dy =+88sinudu,(5)JAAxyu+o sinudu 收敛，故对任给的正数其中A>0,由于0uε，总存在某一实数M,当A'>M时就有nudu<84U后页返回前页

前页 后页 返回 在 [ , ) ( 0),   +   上一致收敛 其中 但在 (0, ) +  内 不一致收敛. 证 作变量代换 u xy = , 得 sin sin d d , (5) A Ax xy u y u y u + + =   A  0, 0 sin d u u u + 其中 由于  收敛, 故对任给的正数  , 总存在某一实数M , 当 A M   时就有 sin d . A u u u  +   

M取AS>M,则当A时,对Vx≥S>0,由(5)式SXy1<8,Ay所以(4)在x≥8>0上一致收敛现证明(4)在(0,+)内不一致收敛.由一致收敛定义的注2，只要证明：存在某一正数8，使得对任何实数 M(>c)，总相应地存在某个A>M及某个xE(0,+o)，使得返回前页后页

前页 后页 返回 , M A M A   取   则当 时, 对   x  0 , 由 (5) 式 sin d , A xy y y  +    所以(4)在 x    0 上一致收敛. 现证明(4) 在 (0, ) +  内不一致收敛. 由一致收敛定 义的注2, 只要证明: 存在某一正数 0  , 使得对任何 x  + (0, ) , 使得 实数 M c ( )  , 总相应地存在某个 A M 及某个

[ f(x, y)d|≥60 . in"du 收敛(在本节例6中我们由于非正常积分u将求出这个积分的值),故对 Vε,>0与VM>0,总3x>0, 使得Mx即后页返回前页

前页 后页 返回 由于非正常积分 0 sin d u u u +  收敛 (在本节例6 中我们 将求出这个积分的值), 故对 0      0 0, 与 M 总   x 0, 使得 0 0 sin sin d d , Mx u u u u u u  + + −    即 0 ( , )d . A f x y y  +  

-0sinusinusinudu+ .(6)duMxJOuuu[ sin"du,由(5)及不等式(6)的左端就有现令6u+ssinxysinudu > 28 - 8 = 80JMMxJu所以(4)在(0, +)内不一致收敛关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系有下述定理定理19.8含参量反常积分(1)在J上一致收敛的充要后页返回前页

前页 后页 返回 现令 0 0 1 sin d , 2 u u u  + =  由(5)及不等式(6)的左端就有 0 0 0 sin sin d d 2 . M Mx xy u y u y u    + + =  − =   所以(4)在 (0, ) +  内不一致收敛. 收敛之间的联系有下述定理. 关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致 定理19.8 含参量反常积分(1)在 J 上一致收敛的充要 + + + −   +    0 0 0 0 sin sin sin d d d . (6) Mx u u u u u u u u u  

条件是:对任一趋于+oo 的递增数列(A,}(其中A, =c)，函数项级数ZAn f(x,y)dy =Zu,(x)(7)n=1n=1在J上一致收敛, 其中 u,(x)=[An* f(x,y)dy.证 必要性由(1)在J上一致收敛,故 Vε>0,3 M >c,使得当A">A'>M时，对一切 xεJ,总有[A f(x, y)d<8.(8)后页返回前页

前页 后页 返回 + 1 { } ( 条件是: 对任一趋于 的递增数列 A A n 其中 = 1 1 1 ( , )d ( ) (7) n n A n A n n f x y y u x +   = =  =  证 必要性 由(1)在 J 上一致收敛, 故    0,  M c, 使得当 A A M     时， 对一切 x J  , 总有 ( , )d . (8) A A f x y y      c), 函数项级数 在 J 上一致收敛, 其中 1 ( ) ( , )d . n n A n A u x f x y y + = 