《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第十九章 含参量积分 §2 含参量反常积分

例1讨论含参量反常积分[xe*'dy,x e (0, +o0)0的一致收敛性,解 若x>0,令u= xy，则Jt xe"dy= ft e"du =eXA于是xe"dy=n(A) = supxe[0,+00后页返回前页

前页 后页 返回 例1 讨论含参量反常积分 0 e d , (0, ) xy x y x + −  +  的一致收敛性. 解 若 x u xy  = 0, , 令 则 e d e d e , xy u xA A xA x y u + + − − − = =   于是   [0, ) ( ) sup e d 1, xy A x  A x y + −  + = = 

因此，含参量积分在(0,+8)上非一致收敛而对于任何正数8，有[ xedy =e-84A →0 (A →+0),n(A) = supxE[8,+00) 因此，该含参量积分在[S,+)上一致收敛返回前页后页

前页 后页 返回 因此, 含参量积分在 (0, ) + 上非一致收敛.   [ , ) ( ) sup e d e 0 ( ), xy A A x A x y A    + − −  + = = → → +  因此, 该含参量积分在 [ , )  + 上一致收敛. 而对于任何正数  , 有

二、含参量反常积分一致收敛性的判别定理19.7(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分(1)在[a,b]上一致收敛的充要条件是：ε>0,3N>c,使得当 A,A, >N 时,对一切的x ε[a,b],都有[ f(x, )d]<8.(3)证必要性若I(x)=(f(x,y)dy在J上一致收敛,则V>0,3N>c,VA>N及xEJ, 有后页返回前页

前页 后页 返回 二．含参量反常积分一致收敛性的判别 定理19.7 (一致收敛的柯西准则)含参量反常积分(1) 在 [ , ] a b 上一致收敛的充要条件是:      0, , N c 1 2 使得当 A A N ,  时 x a b [ , ], , 对一切的 都有 2 1 ( , )d . (3) A A f x y y    证 必要性 ( ) ( , )d c I x f x y y + =  若 在 J 上一致收敛, 则         0, , , N c A N x J 及 有

.[(x, )dy-1(,因此, VA,A, >N,(x, )dx=(x, )dx-f(x, y)d<[ f(x, y)dx-I(x)+[ f(x, y)dx-1(x)88+-=822后页返回前页

前页 后页 返回 ( , )d ( ) , 2 A c f x y y I x  −   因此, 1 2   A A N , , 2 1 2 1 ( , )d ( , )d ( , )d A A A A c c f x y x f x y x f x y x = −    1 1 ( , )d ( ) ( , )d ( ) A A c c  − + − f x y x I x f x y x I x   . 2 2    + = 

充分性 若>0,N>c, VM=A, A, >N,[f(x, )<6.A得[m (x, y)d≤8.则令 A, →+8,得A这就证明了I(x)={f(x,y)dy 在 J上一致收敛.例2证明含参量反常积分o sin xy dy(4)Joy后页返回前页

前页 后页 返回 2 1 ( , )d . A A f x y y    则令 2 , ( , )d . M A f x y y 得  + → +   ( ) ( , )d c I x f x y y + =  这就证明了 在 J 上一致收敛. 例2 证明含参量反常积分 0 sin d (4) xy y y +  充分性 若 1 2      =   0, , , , N c M A A N