又由A,→+o (n→),所以对正数M,存在正整数N,只要当 m>n>N时,就有Am>A,>M.由(8)对一切xEJ,就有A* f(x, y)dy +...+u,(x)+...+um(x)f(x, y)dy[" (x, )d<8.这就证明了级数(7)在J上一致收敛充分性 用反证法.假若(1)在J上不一致收敛,则>0,对VM>C,3A">A'>M和x'EJ,使得后页返回前页
前页 后页 返回 又由 ( ) , A n n → + → 所以对正数M, 存在正整数N, m n N . 只要当 时, 就有 A A M m n 由(8)对一切 x J , 就有 1 1 ( ) ( ) ( , )d ( , )d m n m n A A n m A A u x u x f x y y f x y y + + + + = + + 1 ( , )d . m n A A f x y y + = 这就证明了级数(7)在 J 上一致收敛. 充分性 用反证法. 假若(1)在 J 上不一致收敛, 则 0 0 , 对 M c, A A M x J 和 ， 使得
[4 f(x, y)dy| ≥8 .现取M,=max[1,c},则存在A, >A >M,及x,[a,b]使得[f(x, )dy) ≥8 一般地, 取M, =max(n, A2(n-1)(n ≥ 2),则有 A2n> A2n-1 >M,及 x,E J,使得21I(9)f(xn, y)dy ≥80 .21-后页返回前页
前页 后页 返回 0 ( , )d . A A f x y y M c A A M 1 2 1 1 = max{1 , }, 则存在 1 现取 及x a b [ , ], 使得 2 1 1 0 ( , )d . A A f x y y 一般地, 取 M n A n n n = max{ , } ( 2) , 2( 1) − 则有 2 2 1 , A A M x J n n n n − 及 使得 2 2 1 0 ( , )d . (9) n n A n A f x y y −
由上述所得到的数列(A,}是递增数列，且 lim A,=2n-oo+80.现在考虑级数Zu,(x) -ZJA" f(x, y)dy.n=1n=1由(9)式知存在正数，对任何正整数N,只要n>N,就有某个XEJ，使得[u2n(x,) -[sm" (x, y)dy ≥8g.这与级数(7)在J上一致收敛的假设矛盾.故含参量后页返回前页
前页 后页 返回 { } A n lim n n A → 由上述所得到的数列 是递增数列, 且 = + = = = 1 1 1 ( ) ( , )d . n n A n A n n u x f x y y 0 由(9)式知存在正数 , 对任何正整数N, 只要 n N , 就有某个 0 x J , 使得 + = 2 1 2 2 0 ( ) ( , )d . n n A n n n A u x f x y y 这与级数(7)在 J 上一致收敛的假设矛盾. 故含参量 + . 现在考虑级数