0.正象线段上一点不考虑宽度一样来类推就行 与离散随机变数的情形不同,不考虑X取某个特定值的概 率.对连续随杌变数引入概率密度函数∫(x)的概念。它是 由 ∫(x)=1inPr(x<X≤x+dx) F(x) (15) 来确定的 概率密度这个词,说明f(x)不是慨率的值.但f(∷)4x F(r) F(x) (b) F(# 图1·14 36
当dx相当小时,等于概率Pr(x<X≤x+Ax)的值 从而例13中达到磨耗基准为止的行走公里数的概率密度函 数f(x)是2 f(x) ]=0.1:01,x>0 (16) X取某个X1以下的值的概率,可用(15)式的概率密度 函数如下求得 Pr(X≤x1)=F(x1) f(x)dx(图(a))(17) 同样有 Pr(x>x2)=1-F(x2)=f(x)dx(图(b)(18 还有 (x;<X≤x2)=F(x2)-F(x) sdx f(x)dx=f(x)dx (a(c))(19) 对于连续随机变数来说,可这样地用概率密度函数曲线下 边的面积来表示概率。 由上述可知 f(x)dx=F(∞)-F( 且可知道,对一切x有 f(x)≥0 即连续随机变数的概率密度函数,是对所有x都取非负值 的函数f(x,),它在X的整个变动范围上积分的结果为1 a)正态分布连续随机变数X的概率密度函数∫(x)在 变域-∞<x<∞上由下式确定时,称X为服从正态分布的随 )例如可以与线密度P(x)的概念,即很小一段长度A部分的质量为P( A对比类推 2)这在以后要出现,叫作指数分和的密度。 37
机变数,即 f(2=、n1(-(2m ,P,o:实数,a>0(20) 记此为N(p,a2) 特别当=0,a=1的正态分布N(0,1)叫做标准正态 分布,标准正态分布的概率密度函数为 f(x)=yr exp[ (21) 正态分布的概率密度函数关于x=g对称,x=p±a处有 拐点 服从正态分布N(Pd)的X的累积分布函数F(x)是 )4x二 dx(22) 20 作变数代换 x-A 时,有 x=a+ u (24) 所以 F(x)= y (25) v2丌 25)式右边的被积函数就是(21)右边的函数。(25)式右 边就是将N(0,1)函数从-∞到二且积分的值 因此,服从N(,a2)的随机变数X与服从N(0,1的 随机变数U之间有 Pr(X≤x)=Pr(U≤ (26) 的关系
0。3 0。2 0 4.0-3.0-2.0-1.0 1.0203.04.0 F(s 0.7 0 =05 0,6 0,4 0,3 0 0.2 r=0 4。0-3.0-2.0-1 0 I.02.03.04.0 图1 39
例14对服从N(30、52)的随机变数X求以下概率值, Pr(X≤42)与Pr(X≥26)。 Pr(X≤42)-PrU≤ 1230)=P(U≤2.4) =0.9918 Pr(X≥26)=Pr(U≥ 26-30 0.7881 正态分布(的密度函数)关亍x=g左右对称,这从(20) 式可立即看出,从而N(0,1)也是对z=0左右对称的 因此,对a>0有 Pr(U≤ 1Pr(U≤a) (27) 的关系 例15对服从N(-25,42)的随机变数X,求概率Pr ≤X≤-19) 【解】Pr(-21≤K≤-19):P(U≤ 19-(-25) P(U≤-24(2)=P7(15) Pr(U≤1)=0.9332-0.8413 问题7对服从N(45,62)的随机变数X、以下概率 的值 (1)P(X≤53)(2)P(X≥40)(3)r(x-45|≥2.2) 问题8某职务转正考试的成绩可看成服从N(63,52)的 随机变数,现有3人参加这种考试,设3人各自的成绩是独立 40