《高等代数》课程教学资源（PPT课件）第七章 线性变换

p(aE+bn)=o(aE+bn)+t(aε+bn)=ao()+bo(n)+at()+bt(n)= a(α()+t())+b(o(n)+t(n)=ap()+bp(n)所以+T是V的一个线性变换令=ko，那么对于任意a,beF和任意,n,d(aε+bn)=k(o(a +bn))= k(ao()+bo(n)= ako()+bko(n)=aΦ(=)+b(n)所以kg是V的一个线性变换理学院数学系

理学院数学系 ( ) ( ). ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                              a b a b a b a b a b a b a b                所以  是V的一个线性变换 令  k ，那么对于任意 a,b  F 和任意  , V, ( ) ( ). ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ( ))                   a b ak bk k a b a b k a b          所以kσ是V的一个线性变换

线性变换的加法满足变换律和结合律，容易证明，对于任意以下等式成立p,o,teL(V)1）o+T=T+o:p+o)+t=p+(o+t)2令表示V到自身的零映射，称为V的零变换，它显然具有以下性质：对任意CeL(V)有:(3)H十0=(设e L(V),b的负变换一g指的是V到V的映射-0:≤H-0()容易验证，一α也是V的线性变换，并且α+(-α)=0(4)理学院数学系

理学院数学系 线性变换的加法满足变换律和结合律,容易证明,对 于任意 , ,  L(V),以下等式成立: (1)   ; (2)(  )     (  ). 令θ表示V到自身的零映射,称为V的零变换,它显然 具有以下性质：对任意   L(V )有： (3)    设 σ的负变换－σ指的是V到V的映射 容易验证，－σ也是V的线性变换，并且   L(V ),  :    ( ). （4）  ( )  

线性变换的数乘满足下列算律：(5)k(o +t)=ko +kt(6)(k +l)o = ko + lo(7)(kl)o = k(lo),(8)lg = α,这里k，/是F中任意数，α，T是V的任意线性变换定理7.2.1L（V)对于加法和数乘来说作成数域F上一个向量空间理学院数学系

理学院数学系 线性变换的数乘满足下列算律： (5)k(  )  k  k , (6)(k  l)  k  l, (7)(kl)  k(l ), (8)1   , 这里k,l是F中任意数，σ,τ是V的任意线性变换. 定理7.2.1 L（V）对于加法和数乘来说作成数域 F上一个向量空间

7. 2. 2线性变换的乘法设,eL(V),容易证明合成映射也是V上的线性变换，即EL(V).我们也把合成映射oT叫做g与T的积，并且简记作gT。除上面的性质外还有：(9)p(o+t)=po+pt(10)(o+t)p=op+tp(11)(ko)t=o(kt)=k(ot)成立。对于任意keF,p,o,teL()理学院数学系

理学院数学系 设 容易证明合成映射 也是V上的线 性变换，即 我们也把合成映射 叫 做σ与τ的积，并且简记作στ 。除上面的性质外， 还有：  ,  L(V ),      L(V ).   (9) (  )     , (10) (  )  , (11) (k) (k )  k( ), 对于任意 k F,,, L(V) 成立

证明，（9）其余等式可以类似地我们验证一下等式验证。设eV.我们有p(α + t)() = p((α + t)())=p(α() + t()=p(α(=)) + p(t()=p(E) +pt()=(po + pt)(),因而(9)成立。9)p(o+t)=po+pt,理学院数学系

理学院数学系 证明 我们验证一下等式（9）其余等式可以类似地 验证。设  V. 我们有 ( )( ), ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( )) ( )( ) (( )( ))                                      因而（9） ( 9 ) (   )       , 成立