特别，向量空间V在o之下的像是W的一个子空间，叫做的像，记为Im(α),即Im(α) = α(V).另外，W的零子空间0}在之下的原像是V的一个子空间，叫做o的核，记为Ker(o),即Ker(o)=(EEV/o() = o)理学院数学系
理学院数学系 特别，向量空间V 在σ之下的像是W 的一个 子空间，叫做σ的像, 记为 即 另外，W 的零子空间 { 0 } 在σ之下的原像是 V 的一个子空间，叫做σ的核，记为 即 Im( ), Im( ) (V ). Ker( ), Ker( ) { V | ( ) o}
设V和W是数域F向量空间，c是一个线定理7.1.2性映射，那么α:V→W← Im(α) = W(i)是满射一 Ker(α) = {0)(ii)是单射证明论断(i)是显然的，我们只证论断(ii)如果g是单射，那么ker(）只能是含有唯一的零向量反过来设ker()=0}如果5,neV而o()=o(n)那么o(-n)=o()-(m)=0从而≤-neker(o)=(0)所以=n，即是单射理学院数学系
理学院数学系 定理7.1.2 设V和W是数域F向量空间， σ是一个线 性映射，那么 (i) σ是满射 (ii) σ是单射 证明 论断(i)是显然的,我们只证论断(ii) 如果σ是单射,那么ker(σ)只能是含有唯一的零向量. 反过来设ker(σ) = {0}. 如果 那么 从而 所以 即σ是单射. :V W Im( ) W Ker( ) {0} , V而 ( ) (). ( ) ( ) () 0, ker( ) {0}.
有逆映射-1，那么是W如果线性映射 α:V→W到V的一个线性映射建议同学给出证明理学院数学系
理学院数学系 如果线性映射 有逆映射 ，那么是W 到V 的一个线性映射. 建议同学给出证明. :V W 1
7.2线性变换的运算内容分布、7.2.1线性变换的加法和数乘7.2.2线性变换的乘法7.2.3线性变换的多项式教学目的：1、理解线性变换的和、数乘积及积的概念：熟练进行线性变换的加法、数乘和乘法运算的结构2、了解向量空间L（V）白三、 重点、难点：理解线性变换3种运算的本质了解L（V)E的空间结构理学院数学系
理学院数学系 一、内容分布 7.2.1 线性变换的加法和数乘 7.2.2 线性变换的乘法 7.2.3 线性变换的多项式 二、 教学目的: 1、理解线性变换的和、数乘积及积的概念； 熟练进行线性变换的加法、数乘和乘法运算 2、了解向量空间L（V）的结构 三、 重点、难点: 理解线性变换3种运算的本质； 了解L（V）的空间结构
7. 2. 1加法和数乘令V是数域F上一个向量空间，V到自身的一个线性映射叫做V的一个线性变换我们用L（V表示向量空间上一切线性变换所成o,teL(V),keF的集合，设定义：O+T:HO()+T(S)和：数乘：ko :E H ko()与ko可以证明：o+t都是V的一个线性变换证明那么对于任意a,bEF和任意,nEV=O+TD理学院数学系
理学院数学系 令V是数域F上一个向量空间，V到自身的一个 线性映射叫做V 的一个线性变换. 我们用L（V）表示向量空间上一切线性变换所成 的集合，设 定义: 和: 数乘: 可以证明: 与 都是V 的一个线性变换. , L(V ),k F, : ( ) ( ) k : k ( ) k 令 ，那么对于任意 a,b F 和任意 , V, 证明