2003年考研数学(一)真题评注 、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)lim(cos x)n+r")= 【分析】1型未定式,化为指数函数或利用公式lmf(x)3((1)=em(x)1)g(进 计算求极限均可 【详解1】lmn(csx)m0+x)=en4x)mx 而lim In cos x=lim-_2 In cos x lim cosx Ind 故原式=e2=1 【详解2】因为lin(cosx-1) =m-2 ln(1+x2) 所以原式=e2=1 【评注】本题属常规题型,完全类似例题见《数学复习指南》P2425【例1.30-31】 (2)曲面z=x2+y2与平面2x+4y-z=0平行的切平面的方程是 2x+4 【分析】待求平面的法矢量为n={24,-1},因此只需确定切点坐标即可求出平面方 程,而切点坐标可根据曲面z=x2+y2切平面的法矢量与n={2,4,-1}平行确定 【详解】令F(x,y,z)=z-x2 F=1 设切点坐标为(x,y0,0),则切平面的法矢量为{-2x-2y0,1},其与已知平面 2x+4y-z=0平行,因此有
1 2003 年考研数学（一）真题评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1） ln(1 ) 1 0 2 lim (cos ) x x x + → = e 1 . 【分析】 1 型未定式，化为指数函数或利用公式 ( ) lim ( ) g x f x (1 ) = lim( f ( x) 1)g ( x) e − 进行 计算求极限均可. 【详解 1】 ln(1 ) 1 0 2 lim (cos ) x x x + → = x x x e lncos ln(1 ) 1 lim 2 →0 + , 而 2 1 2 cos sin lim ln cos lim ln(1 ) ln cos lim 0 2 0 2 0 = − − = = → + → → x x x x x x x x x x ， 故 原式= . 1 2 1 e e = − 【详解 2】 因为 2 2 1 1 lim ln(1 ) 1 lim (cos 1) 2 2 0 2 0 = − − = + − → → x x x x x x ， 所以 原式= . 1 2 1 e e = − 【评注】 本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.24-25 【例 1.30-31】. （ 2 ） 曲 面 2 2 z = x + y 与平面 2x + 4y − z = 0 平行的切平面的方程是 2x + 4y − z = 5 . 【分析】 待求平面的法矢量为 n = {2,4,−1} ，因此只需确定切点坐标即可求出平面方 程, 而切点坐标可根据曲面 2 2 z = x + y 切平面的法矢量与 n = {2,4,−1} 平行确定. 【详解】 令 2 2 F(x, y,z) = z − x − y ，则 F x x = −2 ， F y y = −2 ， F z =1. 设切点坐标 为 ( , , ) 0 0 0 x y z ，则切平面 的法矢量 为 { 2 , 2 ,1} 0 0 − x − y ，其与已知 平面 2x + 4y − z = 0 平行，因此有
-2xo 2 可解得x0=1,y=2,相应地有=0=x2+y2=5 故所求的切平面方程为 2(x-1)+4(y-2)-(x-5)=0,即2x+4y-z=5 【评注】本题属基本题型,完全类似例题见《数学复习指南》P279【例10.28】和 《数学题型集粹和练习题集》P12【例8.13】 (3)设x2=∑ an cost(-x≤xx),则a2-1 【分析】将f(x)=x2(-r≤xsx)展开为余弦级数x2=∑ a cos nx((-r≤x≤x), 其系数计算公式为an=2r( rcos ndx 【详解】根据余弦级数的定义,有 a2=20x2 cos 2xax [x2 Lx sin 2 2x·2xdx] dcos Lcos 2 coS 2xdx] 【评注】本题属基本题型,主要考查傅里叶级数的展开公式,本质上转化为定积分的 计算.完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P62第一大题第(6)小题和《数 学复习指南》P240【例8.37】 (4)从R2的基a1=a 到基B1=,B2=的过渡矩阵为 【分析】n维向量空间中,从基a1a2…an到基B13B2,…,Bn的过渡矩阵P满足 [B1,B2,…,Bn][a12a2…,anP,因此过渡矩阵P为: P=[a1,a2,…,an[B1,月2…,Bn] 【详解】根据定义,从R2的基a1-0) 到基月=,B2=的过渡矩
2 1 1 4 2 2 2 0 0 − = − = − x y ， 可解得 x0 =1, y0 = 2 ，相应地有 5. 2 0 2 z0 = x0 + y = 故所求的切平面方程为 2(x −1) + 4( y − 2) − (z − 5) = 0 ，即 2x + 4y − z = 5 . 【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.279 【例 10.28】和 《数学题型集粹和练习题集》P.112 【例 8.13】. （3） 设 cos ( ) 0 2 = − = x a nx x n n ，则 2 a = 1 . 【分析】将 ( ) ( ) 2 f x = x − x 展开为余弦级数 cos ( ) 0 2 = − = x a nx x n n ， 其系数计算公式为 = 0 ( ) cos 2 a f x nxdx n . 【详解】 根据余弦级数的定义，有 a x xdx x d sin 2x 1 cos 2 2 0 2 0 2 2 = = = − 0 0 2 [ sin 2 sin 2 2 ] 1 x x x xdx = = − 0 0 0 [ cos 2 cos 2 ] 1 cos 2 1 x d x x x xdx =1. 【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的 计算. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一 P.62 第一大题第（6）小题和《数 学复习指南》P.240 【例 8.37】. （ 4 ） 从 2 R 的 基 − = = 1 1 , 0 1 1 2 到 基 = = 2 1 , 1 1 1 2 的过渡矩阵为 −1 − 2 2 3 . 【分析】 n 维向量空间中，从基 n , , , 1 2 到基 n , , , 1 2 的过渡矩阵 P 满足 [ n , , , 1 2 ]=[ n , , , 1 2 ]P ，因此过渡矩阵 P 为 ： P=[ 1 1 2 , , , ] − n [ , , , ] 1 2 n . 【详解】根据定义，从 2 R 的基 − = = 1 1 , 0 1 1 2 到基 = = 2 1 , 1 1 1 2 的过渡矩
阵为 P=a1,a2I[B1,B2] 0-112 0-1‖12 【评注】本题属基本题型,完全类似例题见《数学复习指南》P429【例3.35】 (5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 6x,0≤x≤y≤1 f(x,y) 0.其他, 则P{X+Y≤1} 【分析】已知二维随机变量(X,Y的概率密度fxy),求满足一定条件的概率 Pg(X1)≤},一般可转化为二重积分P8(Xx,1)≤a}=/(xyd进行计算 【详解】由题设,有 P(+ys1)=s(r, y)drdy=dx[6.xdy x+y≤l O 【评注】本题属基本题型,但在计算二重积分时,应注意找出概率密度不为零与满足 不等式x+y≤1的公共部分D,再在其上积分即可.完全类似例题见《文登数学全真模拟试 卷》数学一P14第一大题第(5)小题 (6)已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布N(,1),从中随机地抽取16个 零件,得到长度的平均值为40(cm),则的置信度为0.95的置信区间是(39.51,40.49) 注:标准正态分布函数值d(1.96)=0.975,(1645)=0.95)
3 阵为 P=[ 1 1 2 , ] − [ − = − 1 2 1 1 0 1 1 1 , ] 1 1 2 . = . 1 2 2 3 1 2 1 1 0 1 1 1 − − = − 【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.429 【例 3.35】. （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ， x x y f x y 其他 0 1, 0, 6 , ( , ) = 则 P{X + Y 1} = 4 1 . 【分析 】 已知二维随机变量(X,Y) 的概率密度 f(x,y) ，求满足一定条件的概率 { ( , ) }0 P g X Y z ，一般可转化为二重积分 { ( , ) }0 P g X Y z = 0 ( , ) ( , ) g x y z f x y dxdy 进行计算. 【详解】 由题设，有 P{X + Y 1} = + − = 1 2 1 0 1 ( , ) 6 x y x x f x y dxdy dx xdy = . 4 1 (6 12 ) 2 1 0 2 − = x x dx y 1 D O 2 1 1 x 【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足 不等式 x + y 1 的公共部分 D，再在其上积分即可. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试 卷》数学一 P.14 第一大题第（5）小题. （6）已知一批零件的长度 X (单位：cm)服从正态分布 N(,1) ，从中随机地抽取 16 个 零件，得到长度的平均值为 40 (cm)，则 的置信度为 0.95 的置信区间是 (39.51,40.49) . (注：标准正态分布函数值 (1.96) = 0.975,(1.645) = 0.95.)
【分析】已知方差a2=1,对正态总体的数学期望进行估计,可根据 N(0,1),由P <la}=1-α确定临界值aa,进而确定相应的置信区间 【详解】由题设,1-a=095,可见∝=0.05.于是查标准正态分布表知a=1.96 本题n=16,x=40,因此,根据P <196}=0.95,有 P <196}=0.95,即P{395140.49}=0.95,故μ的置信度为095的置 信区间是(39514049) 【评注】本题属基本题型,完全类似例题见《数学复习指南》P608【例6.16】 选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,其导函数的图形如图所示,则fx)有 (A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点 【分析】答案与极值点个数有关,而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点 共4个,是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定 【详解】根据导函数的图形可知,一阶导数为零的点有3个,而x=0则是导数不存 在的点.三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致,必为极值点,且两个极小值点 个极大值点;在x=0左侧一阶导数为正,右侧一阶导数为负,可见x=0为极大值点,故 f(x)共有两个极小值点和两个极大值点,应选(C) 【评注】本题属新题型,类似考题2001年数学一、二中曾出现过,当时考查的是已 知f(x)的图象去推导∫(x)的图象,本题是其逆问题.完全类似例题在文登学校经济类串讲 班上介绍过
4 【分 析 】 已 知 方差 1 2 = ， 对 正 态 总 体的 数 学 期望 进 行 估 计 ， 可根 据 ~ (0,1) 1 N n X − ，由 = − − } 1 1 { 2 u n X P 确定临界值 2 u ，进而确定相应的置信区间. 【详解】 由题设， 1− = 0.95 ，可见 = 0.05. 于是查标准正态分布表知 1.96. 2 u = 本题 n=16, x = 40, 因此，根据 1.96} 0.95 1 { = − n X P ，有 1.96} 0.95 16 1 40 { = − P ，即 P{39.51,40.49} = 0.95 ，故 的置信度为 0.95 的置 信区间是 (39.51,40.49) . 【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.608 【例 6.16】. 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设函数 f(x)在 (−,+) 内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ] y O x 【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点， 共 4 个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定. 【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有 3 个，而 x=0 则是导数不存 在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点， 一个极大值点；在 x=0 左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见 x=0 为极大值点，故 f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C). 【评注】 本题属新题型，类似考题 2001 年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已 知 f(x)的图象去推导 f (x) 的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲 班上介绍过
(2)设{an},{bn},{cn}均为非负数列,且man=0,imbn=1, lm c=∞,则必有 (A)an<bn对任意n成立 )b,<cn对任意n成立 (C)极限 lim a c不存在 (D)极限mb,Cn不存在 【分析】本题考查极限概念,极限值与数列前面有限项的大小无关,可立即排除 (A)B);而极限 lim a c是0·∞型未定式,可能存在也可能不存在,举反例说明即可;极 限 lim bc属1·∞型,必为无穷大量,即不存在 【详解】用举反例法,取a=2,b=1,c1=1m=12…),则可立即排除 (A)、(B)(C),因此正确选项为D 【评注】对于不便直接证明的问题,经常可考虑用反例,通过排除法找到正确选项完 全类似方法见《数学最后冲刺》P179 (3)已知函数fxy)在点00的某个邻域内连续,且mf(y)x=1,则 x→0y0(x2+ (A)点(0,0)不是f(xy)的极值点 (B)点(00)是f(x,y)的极大值点 (C)点(0.0)是f(x,y)的极小值点 (D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(xy)舶极值点 【分析】由题设,容易推知f00)=0,因此点(0,0)是否为fx,y)的极值,关键看在点(0,0) 的充分小的邻域内fxy)是恒大于零、恒小于零还是变号 【详解】由im f(x,y)-xy=1知,分子的极限必为零,从而有f(0,0)=0,且 x→0y0(x2+y f(x,y)-xy≈(x2+y2)2(xy充分小时),于是 f(x,y)-f(00)≈xy+(x2+y2)2 可见当y=x且对充分小时,f(x,y)-f(00)≈x2+4x2>0:而当y=x且充分小时, f(x,y)-f(0,0)≈-x2+4x4<0.故点(0,0)不是f(xy)的极值点,应选(A 【评注】本题综合考査了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念,题型比较新 有一定难度.将极限表示式转化为极限值加无穷小量,是有关极限分析过程中常用的思想, 类似分析思想的例题见《数学复习指南》P43【例171】 (4)设向量组1:a1,a2…a可由向量组l:B1,B2,…,B,线性表示,则 (A)当r<s时,向量组Ⅱ必线性相关.(B)当r>s时,向量组Ⅱ必线性相关 (C)当r<s时,向量组I必线性相关.(D)当r>s时,向量组I必线性相关
5 （2）设 { },{ },{ } n n n a b c 均为非负数列，且 lim = 0 → n n a , lim = 1 → n n b , = → n n lim c ,则必有 (A) an bn 对任意 n 成立. (B) n n b c 对任意 n 成立. (C) 极限 n n n a c → lim 不存在. (D) 极限 n n n b c → lim 不存在. [ D ] 【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除 (A),(B)； 而极限 n n n a c → lim 是 0 型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极 限 n n n b c → lim 属 1 型，必为无穷大量，即不存在. 【详解】 用举反例法，取 n an 2 = ， bn =1， ( 1,2, ) 2 1 cn = n n = ，则可立即排除 (A),(B),(C)，因此正确选项为(D). 【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. 完 全类似方法见《数学最后冲刺》P.179. （3）已知函数 f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且 1 ( ) ( , ) lim 2 2 2 0, 0 = + − → → x y f x y xy x y ，则 (A) 点(0,0)不是 f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是 f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是 f(x,y)的极小值点. (D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为 f(x,y)的极值点. [ A ] 【分析】 由题设，容易推知 f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为 f(x,y)的极值，关键看在点(0,0) 的充分小的邻域内 f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号. 【详解】 由 1 ( ) ( , ) lim 2 2 2 0, 0 = + − → → x y f x y xy x y 知，分子的极限必为零，从而有 f(0,0)=0, 且 2 2 2 f (x, y) − xy (x + y ) ( x , y 充分小时），于是 ( , ) (0,0) ( ) . 2 2 2 f x y − f xy + x + y 可见当 y=x 且 x 充分小时， ( , ) (0,0) 4 0 2 4 f x y − f x + x ；而当 y= -x 且 x 充分小时， ( , ) (0,0) 4 0 2 4 f x y − f −x + x . 故点(0,0)不是 f(x,y)的极值点，应选(A). 【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新， 有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想， 类似分析思想的例题见《数学复习指南》P.43 【例 1.71】. （4）设向量组 I： r , , , 1 2 可由向量组 II： s , , , 1 2 线性表示，则 (A) 当 r s 时，向量组 II 必线性相关. (B) 当 r s 时，向量组 II 必线性相关. (C) 当 r s 时，向量组 I 必线性相关. (D) 当 r s 时，向量组 I 必线性相关. [ D ]