Bloch定理的物理证明：周期势场中的波函数也应具有周期性是无疑的，因此方程的解可以表示为：y（r)=f(r)u(r）其中u(r+R）=u(r)势场的周期性也使与电子相关的所有可测量，包括电子几率l(r)也必定是周期性的，这就给未知函数f(r）附加了下述条件：If(r+R,)=|f(r)对于所有R，都满足此条件的函数只能是指数形式：eikr大此运动方程的解具有Bloch形式：,(r)=eikrur (r)见冯端：凝聚态物理学（上）p141
详细证明：（根据黄昆书4.1节p154）由于势场的周期性反映了晶格的平移对称性，可定义个平移对称操作算符T，使得对丁任意函数f(r)有Taf(r)= f(r+aa)这里，a，α=1,2,3是晶格的三个基。显然，它们是互易的：TTpf(r)=Taf(r+ap)= f(r+ap +aa)=TpTaf(r)T.Tβ- T T.= O
晶体中单电子运动的哈密顿量应具有晶格周期性：hU(rH2mna+U(r+aa)f(r+aa72mh2+U(r) /f(r+aa)2mh?+U(r)Tf (r)= HTaf(r)2m即：平移算符和晶体中电子的哈密顿量是互易的
确定平移算符与哈密顿量有共同本征态。即：TH-HT~=0根据量子力学可知，可对易的算符工和H有共同本征态。设业r）为其共同本征态，有Hy(r)= Ey(r)（设为非简并） Tay(r)=y(r+a)=2y(r)α=1,2,3其中入。是平移算符T。的本征值。为了确定平移算符的本征值，引入周期性边界条件。设晶体为一平行六面体，具棱边沿三个基矢方向，NN，和N,分别是沿a，a,和a,方向的原胞数，，即晶体的总原胞数为 N=N,N,N,
确定平移算符与哈密顿量有共同本征态
由周期性边界条件得到平移算符的本征值y(r)=(r+Neaα)周期性边界条件：y(r+Naaa)= TN"(r)= a"(r)=y(r)而Nα =| = e2mha得h。=整数，α=1,2,32元h=exp所以N.hh引入矢量kN.N,N这里b，b,和b,为倒格子基久，于是有N = eikaaα bp = 2元aβ
由周期性边界条件得到平移算符的本征值