第二章数列 2.1数列的概念与简单表示法(第1课时) 学习目标 1.理解数列的概念,了解数列的分类 2.理解数列是自变量为正整数的一类函数,了解数列的几种表示方法(列表、图象、通 项公式) 3.能根据数列的前几项,总结项与序号的关系,写出通项公式 要点精讲 按照一定的顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项。数 列中的每一项都与它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(也叫首项),排 在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。数列 简记为{an}。 2.项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列。 3.从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列:从第2项起,每一项都 小于它的前一项的数列叫做递减数列:各项相等的数列叫做常数列:从第2项起,有些项大 于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列。 4.数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集{2,…,n}为定义域的函数an=f(mn)。 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这 个数列的通项公式。如三角形数依次构成的数列的通项公式an==m(n+1):正方形数依次 构成的数列的通项公式an= 范例分析 例1.(1)数列存在于现实生活,举出几个数列的例子。 (2)数列2,5,7,8和数列5,2,7,8是同一数列吗? (3)下面的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列? ①学生的学号由小到大构成的数列:1,2,3,4,…,55。 ②“一尺之棰,日取其半,万世不竭”每日得棰长构成的数列 24^816 ③某人2004年1~12月份的工资,按月份顺序排成的数列:1500,1500,1500,… ④-1的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂……构成的数列:-1,1,-1,1
第二章 数列 2．1 数列的概念与简单表示法（第 1 课时） 学习目标 1．理解数列的概念，了解数列的分类； 2．理解数列是自变量为正整数的一类函数，了解数列的几种表示方法（列表、图象、通 项公式）； 3．能根据数列的前几项，总结项与序号的关系，写出通项公式。 要点精讲 1．按照一定的顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。数 列中的每一项都与它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（也叫首项），排 在第二位的数称为这个数列的第 2 项……排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项。数列： 1 2 3 a a a , , ，…， n a ，…，简记为 { }n a 。 2．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。 3．从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第 2 项起，每一项都 小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第 2 项起，有些项大 于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列。 4．数列可以看成以正整数集 N （或它的有限子集 {1,2, … , }n 为定义域的函数 ( ) n a f n = 。 如果数列 { }n a 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫 做这 个数列的通项公式。如三角形数依次构成的数列的通项公式 1 ( 1) 2 n a n n = + ；正方形数依次 构成的数列的通项公式 2 n a n = 。 范例分析 例 1．（1）数列存在于现实生活，举出几个数列的例子。 （2）数列 2,5,7,8 和数列 5, 2,7,8 是同一数列吗？ （3）下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ ①学生的学号由小到大构成的数列：1，2，3，4，…，55。 ②“一尺之棰，日取其半，万世不竭”每日得棰长构成的数列： 1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16 … ③某人 2004 年 1～12 月份的工资，按月份顺序排成的数列：1500，1500，1500，…， 1500。 ④ −1 的 1 次幂，2 次幂，3 次幂，4 次幂……构成的数列：−1，1，−1，1 ，…
例2.写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数: (1)1, 3-4:(2)2020:(3)1.1.1.1:(411 引申:根据下面各数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式 (1)7.77.777,7777 (2)1,3,7,15,31,…(3)1, 191733 3356399 评注:研究各项的结构,把各项写成相同的结构形式,总结出结构中哪些部分不随序 号的改变而改变,哪些部分会随序号的改变而改变。 例3.用列表、图象和通项公式分别表示下列数列 (1)2,4,6, (2)1,3,9,…, 引申:(1)已知数列{an}的通项公式为an=n2+1,求证数列{an}为递增数列。 (2)已知数列{an}的通项公式为an=n()”,求数列{an}的最大项 评注:判断或证明数列{an}的单调性,一般是对an12an作差或作商比较,对含指数幂的 通项公式作商比较更方便。与函数单调性的判断或证明有联系又有区别 例4.(1)根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,猜测第n个图中有 个点
例 2．写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数： （1） 1 1 1 1, , , 2 3 4 − − ；（2） 2,0,2,0 ；（3） 1 1 1 1, , , 3 5 7 ；（4） 2 1 2 1, , , 224 。 引申：根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： （1） 7,77,777,7777, （2） 1,3,7,15,31, （3） 1 9 17 33 1, , , , , 3 35 63 99 评注：研究各项的结构，把各项写成相同的结构形式，总结出 结构中哪些部分不随序 号的改变而改变，哪些部分会随序号的改变而改变。 例 3．用列表、图象和通项公式分别表示下列数列[来源:www.sh u lihu a.net] （1） 2, 4,6, …， 2n ，…。 （2） 1,3,9, …， 1 3 n− ，…。 引申：（1）已知数列 { }n a 的通项公式为 2 1 n a n = + ，求证数列 { }n a 为递增数列。 （2）已知数列 { }n a 的通项公式为 3 ( ) 4 n n a n = ，求数列 { }n a 的最大项。 评注：判断或证明数列 { }n a 的单调性，一般是对 1 , n n a a + 作差或作商比较，对含指数幂的 通项公式作商比较更方便。与函数单调性的判断或证明有联系又有区别。 例 4．（1）根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第 n 个图中有___________ 个点. 。 。。。 。。。。。。。 。 。 。 。。。 。。 。 。。 。 。 。 。。。。。 。。 。。 。。 。。 。。。。 。 。
(1) (2) (3) (4) (5) (2)两两相交的n条直线,交点的个数最多是an,已知an=amn2+bh+c,求常数a,b,c的 (3)数列2,3,5,8,13,…按规律判断89,145是否数列中的项。 规律总结 1.数列{an}与集合含义不一样,与函数概念有联系也有区别,可用函数观点来处理数列问 题。但数列问题也有特殊的处理方法,如数列单调性的证明 数列的通项公式an=f(m)相当与函数的解析式,n为自变量,an为函数值,函数中的 变量代换在数列中仍然成立,如a2=f(m)。 3.根据数列的前几项,总结项与序号的关系,写出通项公式 基础训练 、选择题 1.在数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,…中,x的值是() A.19 B.20 C.21 D.22 2.数列4,-1,101316 ,…的一个通项公式是( 173149 2n2+1C、(-1)2m+1 B、(-1)"3n+1 3n+1 3.已知数列{an}的通项公式为an=log2(3+n2)-2,那么log23是这个数列的() A.第3项 B.第4 C.第5项 第6项 4.若一数列的前四项依次是0,2,0,2,则下列式子中,不能作为它的通项公式的是() A.an=1+(-1) B.an=1-(-1) D.an=(1+cosn)+(n-1)(n-2) 5.设数列{an},an= 其中a,b,c均为正数,则此数列 A.递增B.递减C.先增后减D.先减后增 填空题
（1） （2） （3） （4） （5） （2）两两相交的 n 条直线，交点的个数最多是 n a ，已知 2 n a an bn c = + + ，求常数 abc , , 的 值。 （3）数列 2,3,5,8,13 ，…按规律判断 89,145 是否数列中的项。 规律总结 1．数列 { }n a 与集合含义不一样，与函数概念有联系也有区别，可用函数观点来处理数列问 题。但数列问题也有特殊的处理方法，如数列单调性的证明。 2．数列的通项公式 ( ) n a f n = 相当与函数的解析式， n 为自变量， n a 为函数值，函数中的 变量代换在数列中仍然成立，如 2 2 ( ) n a f n = 。 3．根据数列的前几项，总结项与序号的关系，写出通项公式。 基础训练 一、选择题 1．在数列 1,1,2,3,5,8,13, ,34,55 x ，…中， x 的值是（ ） A．19 B． 20 C． 21 D．22 2．数列 4 ， −1， 10 17 ， 13 31 − ， 16 49 ，…的一个通项公式是（ ） A、 2 1 2 1 ( 1) 2 1 − + − + n n n B、 2 1 3 1 ( 1) 2 1 + + − + n n n C、 2 1 2 1 ( 1) 2 1 + + − + n n n D、 2 1 3 1 ( 1) 2 1 − + − + n n n 3．已知数列 { }n a 的通项公式为 2 2 log (3 ) 2 n a n = + − ，那么 2 log 3 是这个数列的（ ） A．第 3 项 B．第 4 项 C．第 5 项 D．第 6 项 4．若一数列的前四项依次是 0,2,0,2 ，则下列式子中，不能作为它的通项公式的是（ ） A． 1 ( 1)n n a = + − B． 1 1 ( 1)n n a + = − − C． 2 2cos 2 n n a = D． (1 cos ) ( 1)( 2) n a n n n = + + − − 5．设数列 { }n a ， n na a nb c = + ，其中 abc , , 均为正数，则此数列（ ） A． 递增 B． 递减 C． 先增后减 D．先减后增 二、填空题
设数列√2,5,22,1…,则2√是这个数列的 7.用火柴棒按下图的方法搭三角形 按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以 是 8.已知an=-2n2+9m-1(n∈N'),则在数列{an}的最大项的值为 三、解答题 d 知数列{an}的通项公 且a2=a a1 10.已知数列的通项公式为 (n∈N") (1)0.98是否是它的项 (2)判断此数列的增减性与有界性(注:有界数列指数列的项的数值在一个闭区间上)。 能力提高 已知数列{an}中 n-+人n 且{an}是递增数列,则实数λ的取值范围是 A.A>-3 B.A>-2 C. 1>- D.A>0 设函数∫(x)=log2x-log2(0<x<1),数列{an}的通项an满足f(2) (n∈N")。 (1)求数列{an}的通项an;(2)试讨论数列{an}的单调性
6．设数列 2, 5,2 2, 11, ，则 2 5 是这个数列的 . 7．用火柴棒按下图的方法搭三角形： 按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数 n a 与所搭三角形的个数 n 之间的关系式可以 是 . 8．已知 2 * 2 9 1( ) n a n n n N = − + − ，则在数列 { }n a 的最大项的值为____________. 三、解答题 9．已知数列 { }n a 的通项公式 n d a cn n = + ，且 2 4 3 2 a a = = ，求 10 a 。 10．已知数列的通项公式为 2 2 ( ) 1 n n a n N n = + （1） 0.98 是否是它的项？ （2）判断此数列的增减性与有界性（注：有界数列指数列的项的数值在一个闭区间上）。 能力提高 11．已知数列 { }n a 中， 2 n a n n = + ，且 { }n a 是递增数列，则实数 的取值范围是（ ） A． −3 B． −2 C． −1 D． 0 12．设函数 2 ( ) log log 2x f x x = − (0 1) x ，数列 { }n a 的通项 n a 满足 (2 ) 2 n a f n = ( ) n N 。 （1）求数列 { }n a 的通项 n a ；（2）试讨论数列 { }n a 的单调性
2.1数列的概念与简单表示法(第1课时)答案 例1.分析:利用数列的概念和数列的分类等知识解题 解:(1)略 (2)不是同一数列,因为数列与顺序有关。 (3)①为递增数列,②为递减数列,③为常数列,④为摆动数列 评注:数列与集合的区别 数列 集合 按照一定的顺序排列着的一列数 些对象组成的总体 与数的顺序有关 与元素的顺序无关 个数列的数可以重复 集合中的元素不能重复 数列分为有穷数列和无穷数列 集合分为有限集和无限集 例2.分析:根据数列的前几项,总结项与序号的关系,写出通项公式。 (1) :(2)an=(-1)+1;(3)an (4)a 引申:(1)%310-)(2)an=2"-1 (3)a= (2n-1)(2n+1) 例3.分析:数列是自变量为正整数的一类函数,用函数的表示法来表示数列 解:(1) k 图象略,通项公式为an=2n (2) 图象略,通项公式为an=3 引申:(1)an1-an=2n+1>0,an1>an,所以数列{an}为递增数列 (2)=·21,n≤3,所以当n≤3时,数列{an}为递增数列,所以当n≥4 n 4 时,数列{an}为递减数列,而a3=a4=为数列{an}的最大项 例4.分析:把规律概括出来,根据规律解决问题
2．1 数列的概念与简单表示法（第 1 课时）答案 例 1．分析：利用数列的概念和数列的分类等知识解题。 解：（1）略 （2）不是同一数列，因为数列与顺序有关。 （3）①为递增数列，②为递减数列，③为常数列，④为摆动数列 评注：数列与集合的区别 数列 集合 按照一定的顺序排列着的一列数 一些对象组成的总体 与数的顺序有关 与元素的顺序无关 一个数列的数可以重复 集合中的元素不能重复 数列分为有穷数列和无穷数列 集合分为有限集和无限集 例 2．分析：根据数列的前几项，总结项与序号的关系，写出通项公式。 （1） 1 ( 1)n n a n + − = ；（2） 1 ( 1) 1 n n a + = − + ；（3） 1 2 1 n a n = − ；（4） 2 1 ( ) 2 n n a − = 引申：（1） 7 (10 1) 9 n n a = − （2） 2 1 n n a = − （3） 2 1 (2 1)(2 1) n n a n n + = − + 例 3．分析：数列是自变量为正整数的一类函数，用函数的表示法来表示数列。 解：（1） n 1 2 3 … k … n a 2 4 6 … 2k … 图象略，通项公式为 2 n a n = （2） n 1 2[来 源:www.sh ulihua.net] 3 … k … n a 1 3 9 … 1 3 k − … 图象略，通项公式为 1 3 n n a − = 引申：（1） 1 2 1 0 n n a a n + − = + ， n n 1 a a + ，所以数列 { }n a 为递增数列 （2） 1 1 3 1 4 n n a n a n + + = ，n 3 ， 所以当 n 3 时，数列 { }n a 为递增数列，所以当 n 4 时，数列 { }n a 为递减数列，而 3 4 81 64 a a = = 为数列 { }n a 的最大项。 例 4．分析：把规律概括出来，根据规律解决问题