21数列的概念与简单表示法 211数列的概念与简单表示法(一) 从容说课 本节课先由教师提供日常生活实例,引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念, 再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究,认识数列是一种特殊的函数,最后师生共 同通过对一列数的观察、归纳,写出符合条件的一个通项公式通过本节课的学习使学生能 理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;了解数列的通项公式,并会用通项公 式写出数列的任意一项;对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的通项公式 教学重点数列及其有关概念,通项公式及其应用 教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 教具准备课件 三维目标 知识与技能 1理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系 2.了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项 3对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的通项公式 二、过程与方法 1.采用探究法,按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学 2发挥学生的主体作用,作好探究性学习 3.理论联系实际,激发学生的学习积极性 情感态度与价值观 1通过日常生活中的大量实例,鼓励学生动手试验理论联系实际,激发学生对科学的探究精 神和严肃认真的科学态度,培养学生的辩证唯物主义观点 2通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣 教学过程 导入新课 师课本图211中的正方形数分别是多少? 生1,3,6,10, 师图212中正方形数呢? 生1,4,9,16,2: 师像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些? 生-1的正整数次幂:-1,1,-1,1, 无穷多个数排成一列数:1,1,1,1 生一些分数排成的一列数:二,一, 46810 356399 推进新课 [合作探究] 折纸问题 师请同学们想一想,一张纸可以重复对折多少次?请同学们随便取一张纸试试学生们兴趣 定很浓) 生一般折5、6次就不能折下去了,厚度太高了 师你知道这是为什么吗?我们设纸原来的厚度为1长度单位,面积为1面积单位,随依次 折的次数,它的厚度和每层纸的面积依次怎样? 生随着对折数厚度依次为:2,4,8,16,,256,:①
1 2.1 数列的概念与简单表示法 2.1.1 数列的概念与简单表示法(一) 从容说课 本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念， 再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共 同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.通过本节课的学习使学生能 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公 式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式. 教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用. 教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式. 教具准备 课件 三维目标 一、知识与技能 1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系； 2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式. 二、过程与方法 1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学； 2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习； 3.理论联系实际，激发学生的学习积极性. 三、情感态度与价值观 1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精 神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点； 2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣. 教学过程 导入新课 师 课本图 211 中的正方形数分别是多少？ 生 1，3，6，10，…. 师 图 212 中正方形数呢？ 生 1，4，9，16，25，…. 师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？ 生 -1 的正整数次幂：-1，1，-1，1，…; 无穷多个数排成一列数：1，1，1，1，…. 生 一些分数排成的一列数： 3 2 ， 15 4 ， 35 6 ， 63 8 ， 99 10 ，…. 推进新课 ［合作探究］ 折纸问题 师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣 一定很浓). 生 一般折 5、6 次就不能折下去了，厚度太高了. 师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为 1 长度单位，面积为 1 面积单位，随依次 折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？ 生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；①
随着对折数面积依次为1.1,1,1 24"816256 生对折8次以后,纸的厚度为原来的256倍,其面积为原来的分1256式,再折下去太困 难了 师说得很好,随数学水平的提高,我们的思维会更加理性化请同学们观察上面我们列出的 这一列一列的数,看它们有何共同特点? 生均是一列数 生还有一定次序 师它们的共同特点:都是有一定次序的一列数 [教师精讲] 1数列的定义:按一定顺序排列着的一列数叫做数列 注意 (1)数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同 那么它们就是不同的数列 (2)定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现 2数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项各项依次叫做这个数列的第1项(或首 项),第2项 第n项,…同学们能举例说明吗? 生例如,上述例子均是数列,其中①中,“2”是这个数列的第1项(或首项),“16”是这个数 列中的第4项 3数列的分类: 1)根据数列项数的多少分: 有穷数列:项数有限的数列例如数列1,2,3,4,5,6是有穷数列 无穷数列:项数无限的数列例如数列1,2,3,4,5,6.是无穷数列 2)根据数列项的大小分 递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列 递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列 常数数列:各项相等的数列 摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 请同学们观察:课本P3的六组数列,哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列? 生这六组数列分别是(1)递增数列,(2)递增数列,(3)常数数列,(4)递减数列,(5)摆动数列, (6)1递增数列,2递减数列 [知识拓展] 师你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项?能否写出它的第n项? 生256是这数列的第8项,我能写出它的第n项,应为an=2n [合作探究] 同学们看数列2,4,8,16,,256,①中项与项之间的对应关系, 项 2481632 序号 你能从中得到什么启示? 生数列可以看作是一个定义域为正整数集M(或它的有限子集{1,2,3,…,m})的函数 an=f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值反过来,对于函数y=f(x),如果 f(i)(i=1、2、3、4..)有意义,那么我们可以得到一个数列f(1),2,3),,fn) 师说的很好如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公
2 随着对折数面积依次为 2 1 , 4 1 , 8 1 , 16 1 ,…, 256 1 ,…. 生 对折 8 次以后，纸的厚度为原来的 256 倍，其面积为原来的分 1[]256 式，再折下去太困 难了. 师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的 这一列一列的数，看它们有何共同特点？ 生 均是一列数. 生 还有一定次序. 师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数. ［教师精讲］ 1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列. 注意： （1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同， 那么它们就是不同的数列； （2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复 出现. 2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首 项)，第 2 项，…，第 n 项，….同学们能举例说明吗？ 生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第 1 项(或首项)，“16”是这个数 列中的第 4 项. 3.数列的分类： 1)根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6 是有穷数列. 无穷数列：项数无限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6…是无穷数列. 2)根据数列项的大小分： 递增数列：从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列. 递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列. 常数数列：各项相等的数列. 摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 请同学们观察：课本 P 33 的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？ 生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列， (6)1.递增数列，2.递减数列. ［知识拓展］ 师 你能说出上述数列①中的 256 是这数列的第多少项？能否写出它的第 n 项？ 生 256 是这数列的第 8 项，我能写出它的第 n 项，应为 an=2n . ［合作探究］ 同学们看数列 2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系， 项 2 4 8 16 32 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 你能从中得到什么启示？ 生 数列可以看作是一个定义域为正整数集 N * (或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数 an=f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数 y=f(x)，如果 f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列 f(1),f(2),f(3),…,f(n),…. 师 说的很好.如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公
式就叫做这个数列的通项公式 例题剖析] 1根据下面数列{an}的通项公式,写出前5项: (1)an=一(2)an=(-1)"n 师由通项公式定义可知,只要将通项公式中n依次取1,2,3,4,5,即可得到数列的前5 生解:(1)m=1,2,3,4,5a1=m=a3=;a=;as= (2)=1,2,3,4,5a1=1;a2=2;a3=3a4=4;a5=5 师好!就这样解 2.根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式 ()5,,9,1,…(2)3,is:35:6399 (3)0,1,0,1,0,1,…;(4)l,3,3,5,5,7,7,9,9,…; (5)2,-6,12,-20,30,-42, 师这里只给出数列的前几项的值,哪位同学能写出这些数列的一个通项公式?(给学生一定 的思考时间 生老师,我写好了! (2n-1(2n+D):(3k1+(-1) 2 解:(1)an=2n+1;(2xm (4)将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,…, 1+(-1) (5)将数列变形为1×2,-2×3,3×4,-4×5,5×6 ∴an=(-1)+lm(n+1 师完全正确!这是由“数”给出数列的“式”的例子,解决的关键是要找出这列数呈现出的规 律性的东西,然后再通过归纳写出这个数列的通项公式 [合作探究] 师函数与数列的比较(由学生完成此表) 函数 数列特殊的函数 定义域R或R的子集N或它的有限子集{1,2, 解析式 y=f(x) 图象 些离散的点的集合 师对于函数,我们可以根据其函数解析式画出其对应图象,看来,数列也可根据其通项公 式来画出其对应图象,下面同学们练习画数列 4,5,6,7,8,9,10.;② 23·4…③的图象 生根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为
3 式就叫做这个数列的通项公式. ［例题剖析］ 1.根据下面数列{an}的通项公式，写出前 5 项： (1)an= n +1 n ;(2)an=(-1)n·n. 师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中 n 依次取 1，2，3，4，5，即可得到数列的前 5 项. 生 解：(1)n=1,2,3,4,5.a1= 2 1 ;a2= 3 2 ;a3= 4 3 ;a4= 5 4 ;a5= 6 5 . (2)n=1,2,3,4,5.a1=-1;a2=2;a3=-3;a4=4;a5=-5. 师 好！就这样解. 2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)3，5，7，9，11，…；(2) 3 2 ， 15 4 ， 35 6 ， 63 8 ， 99 10 ，…； (3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…； (5)2，-6，12，-20，30，-42，…. 师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定 的思考时间) 生老师，我写好了！ 解：(1)an＝2n＋1；(2)an＝ (2 1)(2 1) 2 n − n + n ；(3)an＝ 2 1 ( 1) n + − ； (4)将数列变形为 1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…， ∴an＝n＋ 2 1 ( 1) n + − ； (5)将数列变形为 1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…， ∴an＝(-1)n+1n(n＋1). 师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规 律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式. ［合作探究］ 师 函数与数列的比较(由学生完成此表)： 函数 数列(特殊的函数) 定义域 R 或 R 的子集 N *或它的有限子集{1，2，…，n} 解析式 y=f(x) an=f(n) 图象 点的集合 一些离散的点的集合 师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公 式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列: 4，5，6，7，8，9，10…;② 1, 2 1 , 3 1 , 4 1 ,…③的图象. 生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为
师数列4,5,6,7,8,9,10,,②的图象与我们学过的什么函数的图象有关? 生与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关 师数列1.234…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关? 生与我们学过的反比例函数y=1的图象有关 师这两数列的图象有什么特点? 生其特点为:它们都是一群孤立的点 生它们都位于y轴的右侧,即特点为:它们都是一群孤立的,都位于y轴的右侧的点 本课时的整个教学过程以学生自主探究为主,教师起引导作用,充分体现学生的主体作用, 体现新课程的理念 课堂小结 对于本节内容应着重掌握数列及有关定义,会根据通项公式求其任意一项,并会根据数 列的前n项求一些简单数列的通项公式 布置作业 课本第38页习题2.1A组第1题 板书设计 数列的概念与简单表示法(一) 定义 1数列 例1 项 3.一般形式 例2 函数定义 4通项公式 5有穷数列 6无穷数列 备课资料 备用例题 1.写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数: 2-132-142-152-1 (1)1,3,5,7;(2) (3) 2×33×44×5 分析: (1)项:1=2×1-13=2×2-15=2×3-17=2×4-1 序号
4 师 数列 4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 生 与我们学过的一次函数 y=x+3 的图象有关. 师 数列 1, 2 1 , 3 1 , 4 1 ,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 生 与我们学过的反比例函数 x y 1 = 的图象有关. 师 这两数列的图象有什么特点？ 生 其特点为：它们都是一群孤立的点. 生 它们都位于 y 轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于 y 轴的右侧 的点. 本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用， 体现新课程的理念. 课堂小结 对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数 列的前 n 项求一些简单数列的通项公式. 布置作业 课本第 38 页习题 2.1 A 组第 1 题. 板书设计 数列的概念与简单表示法(一) 定义 1.数列 例 1 2.项 3.一般形式 例 2 函数定义 4.通项公式 5.有穷数列 6.无穷数列 备课资料 一、备用例题 1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数： (1)1，3，5，7；(2) 5 5 1 ; 4 4 1 , 3 3 1 ; 2 2 1 2 2 2 2 − − − − ; (3) 1 2 1 − , 2 3 1 − , 3 4 1 − , 4 5 1 − . 分析： (1)项：1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1 ↓ ↓ ↓ ↓ 序号： 1 2 3 4
所以我们得到了an=2n-1 (2)序号:1 项分母:2=1+1 3=2+1 4=3+1 项分子:221(1+1)2-132-1=(2+1)2-142-1=(3+1)2-152-1=(4+1)2 所以我们得到了a={+1)2(n+2 n+1 (3)序号:1 2 l×(1+1) 3×(3+1) 4×(4+1) 所以我们得到了=~1 n×(n+ 2.写出下面数列的一个通项公式,使它的前n项分别是下列各数: 1+(-1) (1)1,0,1,0 23456 n+1 (an=(-1) 3815 (n+1) (3)7,77777777 (an==×(10-1)) (4)-1,7,-13,19,-25,31 (an=(-1)"(6n-5) 35917 2n+1 2416256 Can=2" 点评:上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式,根据数列的前几项来写出 这数列的通项公式时,常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等遇到分数的时候,常可根 据需要把分子和分母同时扩大再来看看分子和分母中数的规律性,有时可直截了当地研究分 子和分母之间的关系 3已知数列{an}的通项公式是an=2n2-n,那么() A.30是数列{an}的一项 B44是数列{an}的一项 C66是数列{an}的一项 D90是数列{an}的一项 分析:注意到30,44,66,90均比较小,可以写出这个数列的前几项,如果这前几项中出 现了这四个数中的某一个,则问题就可以解决了若出现的数比较大,还可以用解方程求正 整数解的方法加以解决 答案:C
5 所以我们得到了 an=2n-1； (2)序号： 1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 项分母： 2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 ↓ ↓ ↓ ↓ 项分子： 2 2 -1=(1+1)2 -1 3 2 -1=(2+1)2 -1 4 2 -1=(3+1)2 -1 5 2 -1=(4+1)2 -1 所以我们得到了 an= 1 ( 1) 2 + + n n 或 1 ( 2) + + • n n n ； (3)序号: 1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 1 2 1 − 2 3 1 − 3 4 1 − 4 5 1 − ↓ ↓ ↓ ↓ 1 (1 1) 1 + − 2 (2 1) 1 + − 3 (3 1) 1 + − 4 (4 1) 1 + − 所以我们得到了 an=- ( 1) 1 n n + . 2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前 n 项分别是下列各数： (1)1,0,1,0; 〔an= 2 1 ( 1) +1 + − n ,n∈N *〕 (2)- 3 2 , 8 3 , 15 4 − , 24 5 , 35 6 − ; 〔an=(-1)n· ( 1) 1 1 2 + − + n n 〕 (3)7,77,777,7 777; 〔an= 9 7 ×(10n -1)〕 (4)-1,7,-13,19,-25,31; 〔an=(-1)n (6n-5)〕 (5) 2 3 , 4 5 , 16 9 , 256 17 . 〔an= 1 2 2 2 1 − + n n 〕 点评：上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式，根据数列的前几项来写出 这数列的通项公式时，常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等.遇到分数的时候，常可根 据需要把分子和分母同时扩大再来看看分子和分母中数的规律性，有时可直截了当地研究分 子和分母之间的关系. 3.已知数列{an}的通项公式是 an=2n 2 -n，那么( ) A.30 是数列{an}的一项 B.44 是数列{an}的一项 C.66 是数列{an}的一项 D.90 是数列{an}的一项 分析：注意到 30，44，66，90 均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出 现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正 整数解的方法加以解决. 答案：C