2.1数列的概念与简单表示法(第2课时) 学习目标 了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;会根据数列的递推公式写出数列 的前几项;经历数列知识的感受及理解运用的过程;通过本节课的学习,体会数学来源于生活, 从而提高学习数学的兴趣 合作学习 、设计问题,创设情境 1回顾复习数列及有关定义,数列既然是按一定顺序排列的一列数,有些数列能够写出 个通项公式an=f(n),那么除了通项公式外还可以怎么表示? 2.观察钢管堆放示意图,寻求规律,建立数学模型. 自上而下 第1层钢管数为4 第2层钢管数为 第3层钢管数为6; 第4层钢管数为7 第5层钢管数为8; 第6层钢管数为9 第7层钢管数为10. 若用a表示钢管数,n表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且a=n+3(1≤n≤7), 相邻两层之间有没有关系?即an与a有没有关系?
2.1 数列的概念与简单表示法(第 2 课时) 学习目标 了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;会根据数列的递推公式写出数列 的前几项;经历数列知识的感受及理解运用的过程;通过本节课的学习,体会数学来源于生活, 从而提高学习数学的兴趣. 合作学习 一、设计问题,创设情境 1.回顾复习数列及有关定义,数列既然是按一定顺序排列的一列数,有些数列能够写出一 个通项公式 an=f(n),那么除了通项公式外还可以怎么表示? 2.观察钢管堆放示意图,寻求规律,建立数学模型. 自上而下: 第 1 层钢管数为 4; 第 2 层钢管数为 5; 第 3 层钢管数为 6; 第 4 层钢管数为 7; 第 5 层钢管数为 8; 第 6 层钢管数为 9; 第 7 层钢管数为 10. 若用 an 表示钢管数,n 表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且 an=n+3(1≤n≤7), 相邻两层之间有没有关系?即 an+1 与 an 有没有关系?
3国际象棋中的每个格子中依次放入1,2,2,23,2,…,四这样的麦粒数排成一列数,相邻 两数之间有没有关系?即an与a有没有关系? 、信息交流,揭示规律 数列有四种表示法:通项公式法、列表法、图象法和递推公式法.通常用通项公式法表示 数列 4.通项公式法 如果数列{an}的第n项a与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式就叫 做这个数列的通项公式 如数列0,1,2,3,4,…的通项公式为 1,1,1,1,…的通项公式为 1,,…的通项公式为 5.图象法 从函数的观点看,数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的 函数a=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时对应的一列函数值.而数列的项是函数 值,序号就是自变量,数列的通项公式就是相应函数的解析式.其图象是一群孤立的点 我们可以仿照函数图象的画法画数列的图象.具体方法是以项数n为横坐标,相应的项an 为纵坐标,即以为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列1,…为例 作出一个数列的图象,所得的数列的图象是一群孤立的点,因为横坐标为正整数,所以这些 点都在y轴的右侧,而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数 由小到大变化而变化的趋势. 6.列表法 数列可看做特殊的函数,其表示也应与函数的表示法有联系,相对于列表法表示一个函数, 数列有这样的表示法:用a表示第一项,用a表示第二项,……,用a表示第n项,依次写出 a,a2,a3,a4,…,记为{an}
3.国际象棋中的每个格子中依次放入 1,2,22 ,23 ,24 ,…,263 这样的麦粒数排成一列数,相邻 两数之间有没有关系?即 an+1 与 an 有没有关系? 二、信息交流,揭示规律 数列有四种表示法:通项公式法、列表法、图象法和递推公式法.通常用通项公式法表示 数列. 4.通项公式法 如果数列{an}的第 n 项 an 与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式就叫 做这个数列的通项公式. 如数列 0,1,2,3,4,…的通项公式为 ; 1,1,1,1,…的通项公式为 ; 1,,…的通项公式为 . 5.图象法 从函数的观点看,数列可以看成以正整数集 N * (或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的 函数 an=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时对应的一列函数值.而数列的项是函数 值,序号就是自变量,数列的通项公式就是相应函数的解析式.其图象是一群孤立的点. 我们可以仿照函数图象的画法画数列的图象.具体方法是以项数 n 为横坐标,相应的项 an 为纵坐标,即以 为坐标在平面直角坐标系中作出点 以前面提到的数列 1,,…为例, 作出一个数列的图象 ,所得的数列的图象是一群孤立的点,因为横坐标为正整数,所以这些 点都在 y 轴的右侧,而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数 由小到大变化而变化的趋势. 6.列表法 数列可看做特殊的函数,其表示也应与函数的表示法有联系,相对于列表法表示一个函数, 数列有这样的表示法:用 a1 表示第一项,用 a2 表示第二项,……,用 an 表示第 n 项,依次写出 a1,a2,a3,a4,….记为{an}
7.递推公式法 知识都来源于实践,最后还要应用于生活.用其来解决一些实际问题.观察钢管堆放示意 图,寻其规律,建立数学模型 模型一:自上而下 第1层钢管数为4,即144=1+3 第2层钢管数为5,即265=2+3; 第3层钢管数为6,即346=3+3; 第4层钢管数为7,即447=4+3; 第5层钢管数为8,即548=5+3; 第6层钢管数为9,即649=6+3; 第7层钢管数为10,即710=7+3. 若用a表示钢管数,n表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且a=n+3(1≤n≤7) 运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立数列模型,运用这一关系,会快捷地求 出每一层的钢管数,这会给我们的统计与计算带来很多方便 继续看此图片,是否还有其他规律可循? 模型二:上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1. 即a1=4; a2=5=4+1=a1+1; a3=6=5+1=a2+1; 依此类推:a。=an-1+1(2≤n≤7) 对于上述所求关系,若知其第1项,即可求出其他项 递推公式:如果已知数列{an}的第1项(或前几项),且任一项a与它的前一项an-:(或前几项) 间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 递推公式也是给出数列的一种方法 如下数列:3,5,8,13,21,34,55,89, 递推公式为:a1=3,a2=5,an=an-1+an2(3≤n≤8)
7.递推公式法 知识都来源于实践,最后还要应用于生活.用其来解决一些实际问题.观察钢管堆放示意 图,寻其规律,建立数学模型. 模型一:自上而下: 第 1 层钢管数为 4,即 1↔4=1+3; 第 2 层钢管数为 5,即 2↔5=2+3; 第 3 层钢管数为 6,即 3↔6=3+3; 第 4 层钢管数为 7,即 4↔7=4+3; 第 5 层钢管数为 8,即 5↔8=5+3; 第 6 层钢管数为 9,即 6↔9=6+3; 第 7 层钢管数为 10,即 7↔10=7+3. 若用 an 表示钢管数,n 表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且 an=n+3(1≤n≤7). 运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立数列模型,运用这一关系,会快捷地求 出每一层的钢管数,这会给我们的统计与计算带来很多方便. 继续看此图片,是否还有其他规律可循? 模型二:上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 1. 即 a1=4; a2=5=4+1=a1+1; a3=6=5+1=a2+1; 依此类推:an=an-1+1(2≤n≤7). 对于上述所求关系,若知其第 1 项,即可求出其他项. 递推公式:如果已知数列{an}的第1项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(或前几项) 间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 递推公式也是给出数列的一种方法. 如下数列:3,5,8,13,21,34,55,89, 递推公式为:a1=3,a2=5,an=an-1+an-2(3≤n≤8)
8.数列的分类 (1)根据数列项数的多少分 ①有穷数列 ②无穷数列 (2)根据数列项的大小分 ①递增数列 ②递减数列 ③常数数列 ④摆动数列 三、运用规律,解决问题 9.设数列{an}满足an=写出这个数列的前5项. 10.已知a=2,an=2an,写出前5项,并猜想an 四、变式训练,深化提高 11.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前5项,并归纳出通项公式 (1)a1=0,an=a1n+(2n-1)(n∈N) (2)a1=1,a=(n∈N) (3)a1=3,an1=3a-2(n∈N) 五、反思小结,观点提炼
8.数列的分类 (1)根据数列项数的多少分 ①有穷数列: ; ②无穷数列: . (2)根据数列项的大小分 ①递增数列: ; ②递减数列: ; ③常数数列: ; ④摆动数列: . 三、运用规律,解决问题 9.设数列{an}满足 an=写出这个数列的前 5 项. 10.已知 a1=2,an+1=2an,写出前 5 项,并猜想 an. 四、变式训练,深化提高 11.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前 5 项,并归纳出通项公式. (1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N * ); (2)a1=1,an+1=(n∈N * ); (3)a1=3,an+1=3an-2(n∈N * ). 五、反思小结,观点提炼
参考答案 、设计问题,创设情境 3.有关系 an+1=∠aa 信息交流,揭示规律 4.an=n-1(n∈N);an=1(n∈N);an=(n∈N) 8.(1)①项数有限的数列 ②项数无限的数列 (2)①从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 ②从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 ③各项相等的数列 ④从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 三、运用规律,解决问题 9.解:由题意可知,a1=1,a2=1+=2,a3=1+,a=1+,as=1+ 10.解:a1=2,a=2a1=2×2=2,a3=2a=2×22=2,a=2a2=2×2=2,a5=2a=2×2=25,观察可得 四、变式训练,深化提高 11.解:(1)∵a1=0,a2=1,a3=4,a1=9,a5=16,∴a=(n-1)2; (2)∵a1=1,a2=,a3=,a=,a5=,∴an= (3)∵a1=3=1+2×39,a2=7=1+2×3,a3=19=1+2×3 a=55=1+2×33,a5=163=1+2×3,∴a=1+2×3 五、反思小结,观点提炼
参考答案 一、设计问题,创设情境 3.有关系.an+1=2an 二、信息交流,揭示规律 4.an=n-1(n∈N * );an=1(n∈N * );an=(n∈N * ) 5.(n,an) 8.(1)①项数有限的数列 ②项数无限的数列 (2)①从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列 ②从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的数列 ③各项相等的数列 ④从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 三、运用规律,解决问题 9.解:由题意可知,a1=1,a2=1+=2,a3=1+,a4=1+,a5=1+. 10. 解 :a1=2,a2=2a1=2×2=22 ,a3=2a2=2×22 =23 ,a4=2a3=2×23 =24 ,a5=2a4=2×24 =25 , 观察可得 an=2n . 四、变式训练,深化提高 11.解:(1)∵a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16,∴an=(n-1)2 ; (2)∵a1=1,a2=,a3=,a4=,a5=,∴an=; (3)∵a1=3=1+2×30 ,a2=7=1+2×31 ,a3=19=1+2×32 , a4=55=1+2×33 ,a5=163=1+2×34 ,∴an=1+2×3n-1 . 五、反思小结,观点提炼 略 学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽 量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天做 300 下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生： 每天甩手 300 下，哪个同学坚持了，有 90％的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了 80％。一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请告诉我，最简 单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个 重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具 有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉