第二章 数列 DIERZHANG 21 数列的概念与简单表示法 第一课时数列的概念与简单表示法 以本为本·抓以基 课前自主学习,基稳才能楼高 预习课本P28~29,思考并完成以下问题 (1)什么是数列?什么叫数列的通项公式? (2)数列的项与项数一样吗? (3)数列与函数有什么关系,数列通项公式与函数解析式有什么联系? 1.数列的概念 (1)定义:按照一定厕序排列的一列数称为数列 (2项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.a称为数列{an}的第1项或称为首项, 2称为第2项,…,an称为第n项 (3)数列的表示:数列的一般形式可以写成a,a,a3,…,an,…,简记为un} 点睛](1)数列中的数是按一定顺序排列的.因此,如果组成两个数列的数相同而排列 顺序不同,那么它们就是不同的数列.例如,数列4,56,7,8,910与数列109,87,6.5,4是不 同的数列 (2)在数列的定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以 重复出现.例如:1,-1,1,-1,1,…;2,2,2,… 2.数列的分类
数列的概念与简单表示法 第一课时 数列的概念与简单表示法 (1)什么是数列？什么叫数列的通项公式？ (2)数列的项与项数一样吗？ (3)数列与函数有什么关系，数列通项公式与函数解析式有什么联系？ [新知初探] 1．数列的概念 (1)定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列． (2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a1称为数列{an}的第 1 项(或称为首项)， a2 称为第 2 项，…，an称为第 n 项． (3)数列的表示：数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． [点睛] (1)数列中的数是按一定顺序排列的．因此，如果组成两个数列的数相同而排列 顺序不同，那么它们就是不同的数列．例如，数列 4,5,6,7,8,9,10 与数列 10,9,8,7,6,5,4 是不 同的数列． (2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以 重复出现．例如：1，－1,1，－1,1，…；2,2,2，…. 2．数列的分类 预习课本 P28～29，思考并完成以下问题
分类标准名称 含义 有穷数列 项数有限的数列 按项的个数 无穷数列 项数无限的数列 递增数列从第2项起,每一项都大王它的前一项的数列 递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 按项的变化 地势 各项相等的数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的 摆动数列 前一项的数列 3.数列的通项公式 如果数列{an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做 这个数列的通项公式 点睛](1)激列的通项公式实际上是一个以正整数集N或它的有限子集{,23,…,n} 为定义域的函数解析式 (2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的教列都有逼项公式 小賞身手 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)数列1,1,1,…是无穷数列 (2)数列12,34和数列12,43是同一个数列() (3)有些数列没有通项公式() 解析:(1)正确.每项都为1的常数列,有无穷多项 (2)错误,虽然都是由1,2,34四个数构成的数列,但是两个数列中后两个数顺序不同, 不是同一个数列. (3)正确,某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式,这个数列就有通项 公式,否则,不能建立一个函数关系式,这个数列就没有通项公式 谷案:(1)√(2)×(3)√ 2.在数列-,0,1,1 …中,0.08是它的( A.第100项 B.第12项 C.第10项 D.第8项 解析:选C∵a="n2令"n20,.解得=10戴n三含去 3n+1,n为奇数, 3.数列的通项公式为a=12n-2,m为偶数,则a2a等于()
分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的变化 趋势 递增数列 从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项相等的数列 摆动数列 从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的 前一项的数列 3．数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做 这个数列的通项公式． [点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集 N*或它的有限子集{1,2,3，…，n} 为定义域的函数解析式． (2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列 1,1,1，…是无穷数列( ) (2)数列 1,2,3,4 和数列 1,2,4,3 是同一个数列( ) (3)有些数列没有通项公式( ) 解析：(1)正确．每项都为 1 的常数列，有无穷多项． (2)错误，虽然都是由 1,2,3,4 四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同， 不是同一个数列． (3)正确，某些数列的第 n 项 an和 n 之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项 公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式． 答案：(1)√ (2)× (3)√ 2．在数列－1,0， 1 9 ， 1 8 ，…， n－2 n 2 ，…中，0.08 是它的( ) A．第 100 项 B．第 12 项 C．第 10 项 D．第 8 项 解析：选 C ∵an＝ n－2 n 2 ，令n－2 n 2 ＝0.08，解得 n＝10 或 n＝ 5 2 (舍去)． 3．数列的通项公式为 an＝ 3n＋1，n为奇数， 2n－2，n为偶数， 则 a2·a3 等于( )
A.70 B.28 1,m为奇数, 解析:选C由a21n-2,n为俩数,得m2=2,a=10,所以a2a3=20. 4.在数列1,1,2,3,5,8,x,2134,55,…中,x= 解析:通过观察数列各项的大小关系,发现从第三项起,每项的值都等于前两项值之 和,因此x=5+8=13 谷案:13 学用结合·通技活 课堂讲练设计,举一能通类题 数列的概念及分类 典例]下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是() B 2r.3r.4π · D.1,2,3,4,…,30 /解析数列13’323…是无穷数列,但它不是递增数列,而是递减数列;数列 3 是无穷数列,但它既不是递增数列,又不是递减数列 教列一1“2-3,、1…是无穷数列,也是遁增数列;敷列1234 30是递增数 列,但不是无穷数列 谷案]C 一类题通店 有穷数列与无穷数列的判断 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,只需考察数列是有限项还是无限项.若数 列含有限项,则是有穷数列,否则为无穷数列 2.数列单调性的判斷 判断数列的单调性,则需要从第2项超,观察每一项与它的前一项的大小关系,若满
A．70 B．28 C．20 D．8 解析：选 C 由 an＝ 3n＋1，n为奇数， 2n－2，n为偶数， 得 a2＝2，a3＝10，所以 a2·a3＝20. 4．在数列 1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x＝________. 解析：通过观察数列各项的大小关系，发现从第三项起，每项的值都等于前两项值之 和，因此 x＝5＋8＝13. 答案：13 数列的概念及分类 [典例] 下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A．1， 1 3 ， 1 3 2， 1 3 3，… B．sin π 13，sin 2π 13，sin 3π 13，sin 4π 13，… C．－1，－ 1 2 ，－ 1 3 ，－ 1 4 ，… D．1,2,3,4，…，30 [解析] 数列 1， 1 3 ， 1 3 2， 1 3 3，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列 sin π 13，sin 2π 13，sin 3π 13，sin 4π 13，…是无穷数列，但它既不是递增数列，又不是递减数列； 数列－1，－ 1 2 ，－ 1 3 ，－ 1 4 ，…是无穷数列，也是递增数列；数列 1,2,3,4，…，30 是递增数 列，但不是无穷数列． [答案] C 1．有穷数列与无穷数列的判断 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数 列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列． 2．数列单调性的判断 判断数列的单调性，则需要从第 2 项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满
足anan1,则是递增数列;若满足an>an+1,则是递减数列;若满足an=am1,则是常数列; 若an与an+1的大小不确定时,则是摆动数列 活学活用 给出以下数列: ①1,-1,1 ②2,,6,8,…,1000; ⑧8,8,8,8,…; ④0.,0.820.830.84,…,0.810. 其中,有穷数列为 无穷数列为 ;递增数列为_;递减数列 为 摆动数列为 ;常数列为.(填序号) 解析:有穷数列为②④;无穷数列为①③;递增数列为②;递减数列为④;摆动列 为①;常数列为③. 答案:②④①③②④①③ 题型 由数列的前几项求通项公式 典例」()数列,,53 的一个通项公式是 (2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式 12×43×54×6·5×7 7 ③2,6,2,6, 解析(1)数列可写为:3456…分子满足:3=1+24=2+2,5=3+2,6= 5,8’11’14 4+2, 分母满足:5=3×1+2,8=3×2+2,11=3×3+2,14=3×4+2,…, 故通项公式为an= n+2 谷案]an (2)解:①均是分式且分子均为1,分母均是两因数的积,第一个因数是项数加上1,第 二个因数比第一个因数大2, (n+1)(n+3 ②正负相间,且负号在奇数项,故可用(-1)来表示符号,各项的绝对值恰是2的整数
足 an<an＋1，则是递增数列；若满足 an>an＋1，则是递减数列；若满足 an＝an＋1，则是常数列； 若 an与 an＋1 的大小不确定时，则是摆动数列． [活学活用] 给出以下数列： ①1，－1,1，－1，…； ②2,4,6,8，…，1 000； ③8,8,8,8，…； ④0.8,0.82,0.83,0.84，…，0.810 . 其中，有穷数列为________；无穷数列为________；递增数列为________；递减数列 为________；摆动数列为________；常数列为________．(填序号) 解析：有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；摆动数列 为①；常数列为③. 答案：②④ ①③ ② ④ ① ③ 由数列的前几项求通项公式 [典例] (1)数列3 5 ， 1 2 ， 5 11， 3 7 ，…的一个通项公式是________． (2)根据以下数列的前 4 项写出数列的一个通项公式． ① 1 2×4 ， 1 3×5 ， 1 4×6 ， 1 5×7 ，…； ②－3,7，－15,31，…； ③2,6,2,6，…. [解析] (1)数列可写为：3 5 ， 4 8 ， 5 11， 6 14，…，分子满足：3＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝ 4＋2，…， 分母满足：5＝3×1＋2,8＝3×2＋2,11＝3×3＋2,14＝3×4＋2，…， 故通项公式为 an＝ n＋2 3n＋2 . [答案] an＝ n＋2 3n＋2 (2)解：①均是分式且分子均为 1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上 1，第 二个因数比第一个因数大 2， ∴an＝ 1 (n＋1)(n＋3) . ②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n来表示符号，各项的绝对值恰是 2 的整数
次幂减1 an=(-1)"(2m1-1) 2+6 ③为摆动数列,一般求两数的平均数,=4,而2=4-26=42,中间符号用(-1) 来表示 是奇数, an=4+(-1)2或 6,n是偶数 一类题通法 由数列的前几项求通项公式的解题策略 (1)分式形式的数列,分子、分母分别求通项,较复杂的还要考虑分子、分母的关系 (2)若n和n+1项正负交错,那么符号用(-1y或(-1)y+1或(-1-1来调控 (3)悉一些常见数列的通项公式 (4)对于复杂数列的通项公式,其项与序号之间的关系不容易发现,要将数列各项的结 构形式加以变形,将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的 “和”“差”“积”“离”后再进行归纳 活学活用 写出下列数列的一个通项公式 (1)0,3,8,15,24,…; (2)1,-3,5,-7,9,…; (3)1 4)1,ll, 111, 1 111, 解:(1)观察数列中的数,可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1 所以它的一个通项公式是an=n2-1 (2)数列各项的绝对值为13,57,9,…,是连续的正奇数,并且数列的奇数项为正,偶 数项为负,所以它的一个通项公式为an=(-1)+(2n-1) (3)此数列的整数部分1,2,34,“恰妤是序号n,分数部分与序号n的关系为 n+1 n2+2n 所求的数列的一个通项公式为an=n+ n+1n+1 (4)原数列的各项可变为。×90×9。×99。×999…,易知数列99999990 的一个通项公式为an=10-1所以原数列的一个通项公式为an=(10-1
次幂减 1， ∴an＝(－1)n (2n＋1－1)． ③为摆动数列，一般求两数的平均数2＋6 2 ＝4，而 2＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1)n 来表示． an＝4＋(－1)n·2 或 an＝ 2，n是奇数， 6，n是偶数. 由数列的前几项求通项公式的解题策略 (1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系． (2)若 n 和 n＋1 项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1 或(－1)n－1 来调控． (3)熟悉一些常见数列的通项公式． (4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结 构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的 “和”“差”“积”“商”后再进行归纳． [活学活用] 写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)1 1 2 ，2 2 3 ，3 3 4 ，4 4 5 ，…； (4)1,11,111,1 111，…. 解：(1)观察数列中的数，可以看到 0＝1－1,3＝4－1，8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…， 所以它的一个通项公式是 an＝n 2－1. (2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶 数项为负，所以它的一个通项公式为 an＝(－1)n＋1 (2n－1)． (3)此数列的整数部分 1,2,3,4，…恰好是序号 n，分数部分与序号 n 的关系为 n n＋1 ，故 所求的数列的一个通项公式为 an＝n＋ n n＋1 ＝ n 2＋2n n＋1 . (4)原数列的各项可变为1 9 ×9， 1 9 ×99， 1 9 ×999， 1 9 ×9 999，…，易知数列 9,99,999,9 999，… 的一个通项公式为 an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为 an＝ 1 9 (10n－1)