第1讲数列的概念及简单表示法 教学目标:1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数 知识梳理 1数列的概念 (1)数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做 这个数列的项 (2)数列与函数的关系:从函数观点看,数列可以看成以正整数集N(或它的有限 子集)为定义域的函数an=fn)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应 的一列函数值 (3)数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和通项公式法 2数列的分类 分类原则 类型 满足条件 有穷数列 项数有限 按项数分类 无穷数列 项数无限 按项与项间 递增数列 an+1>an 其中n∈ 的大小关系 递减数列 an+1≤cn 分类 常数列 an+l=an 有界数列 存在正数M,使n≤M 按其他 摆动数列 从第二项起,有些项大于它的前一项,有些 标准分类 项小于它的前一项的数列 3数列的两种常用的表示方法 (1)通项公式:如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子 ≡来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式 (2)递推公式:如果已知数列{am}的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开
第 1 讲 数列的概念及简单表示法 教学目标： 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)； 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 知 识 梳 理 1.数列的概念 (1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做 这个数列的项. (2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集 N* (或它的有限 子集)为定义域的函数 an＝f(n).当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应 的一列函数值. (3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法. 2.数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间 的大小关系 分类 递增数列 an＋1＞an 其中 n∈ N* 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 按其他 标准分类 有界数列 存在正数 M，使|an|≤M 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些 项小于它的前一项的数列 3.数列的两种常用的表示方法 (1)通项公式：如果数列{an}的第 n 项 an 与序号 n 之间的关系可以用一个式子 an ＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. (2)递推公式：如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开
始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那 么这个公式就叫做这个数列的递推公式 4已知数列{an}的前n项和S,则a=S n (n≥2) 诊断自测 1判断正误(在括号内打“√”或“×”)晖精彩PT展示 (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列(×) (2)一个数列中的数是不可以重复的(×) (3)所有数列的第n项都能使用公式表达(×) (4根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个(√) 2(2016保定调研)在数列{an}中,已知a1=1,an+1=2am+1,则其通项公式为an B.2n1+1 C.2n-1 D.2(n-1) 解析法一由an+1=2a+1,可求a2=3,a=7,a4=15,…,验证可知an= 法二由题意知am+1+1=2(am+1),∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等 比数列 答案A 3(2016山西四校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,S=2an-n,则am=() A.2 B.2n-1 C.2n-1 D.2n+1 解析当n≥2时,an=Sn-Sn1-1=2an-n-2an-1+(n-1) 即an=2am-1+1,∴an+1=2(am-1+1), ∴数列{an+1}是首项为a+1=2,公比为2的等比数列,∴am+1=22n1=2 答案B 4(2015江苏卷)设数列{an}满足a=1,且an+-an=n+1(m∈N),则数列前 10项的和为 解析∵a=1,an+1-an=n+1,∴a-a1=2,a3-a=3, an-an-l-n, 将以上n-1个式子相加得an-a2=2+3+…+n=(2+n)(n-1),即an
始的任一项 an 与它的前一项 an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那 么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 4.已知数列{an}的前 n 项和 Sn，则 an＝ S1 （n＝1）， Sn－Sn－1 （n≥2）. 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示 (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(×) (2)一个数列中的数是不可以重复的.(×) (3)所有数列的第 n 项都能使用公式表达.(×) (4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.(√) 2.(2016·保定调研)在数列{an}中，已知 a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式为 an ＝( ) A.2 n－1 B.2 n－1＋1 C.2n－1 D.2(n－1) 解析 法一 由 an＋1＝2an＋1，可求 a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，验证可知 an＝ 2 n－1. 法二 由题意知 an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以 2 为首项，2 为公比的等 比数列，∴an＋1＝2 n，∴an＝2 n－1. 答案 A 3.(2016·山西四校联考)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝2an－n，则 an＝( ) A.2 n－1－1 B.2 n－1 C.2n－1 D.2n＋1 解析 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－2an－1＋(n－1)， 即 an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)， ∴数列{an＋1}是首项为 a1＋1＝2，公比为 2 的等比数列，∴an＋1＝2·2n－1＝2 n， ∴an＝2 n－1. 答案 B 4.(2015·江苏卷)设数列{an}满足 a1＝1，且 an＋1－an＝n＋1(n∈N* )，则数列 1 an 前 10 项的和为________. 解析 ∵a1＝1，an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n， 将以上 n－1 个式子相加得 an－a1＝2＋3＋…＋n＝ （2＋n）（n－1） 2 ，即 an＝
n(n+1) 令bn=-,故bn n(n+1) +1 故S10=b1+b2+…+b10 20 答案 5(人教A必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数 列的一个通项公式an= 答案5n-4 考点突破分类讲练,以例求法 精彩PPT名师讲解 考点一由数列的前几项求数列的通项 【例1】根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,…; (23,4,5,8,10,… 25 (3)万,2,5,8,, (4)5,55,555,5555, 解(1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(一1y,观察各项的绝 对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式为an (-1y(6n-5) (2)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为1×3,3×5,5 ×7,7×9,9×11,…,每一项都是两个相邻奇数的乘积故所求数列的一个通 2 项公式为 (2n-1)(2n+1) (3)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数再观
n（n＋1） 2 ， 令 bn＝ 1 an ，故 bn＝ 2 n（n＋1） ＝2 1 n － 1 n＋1 ， 故 S10＝b1＋b2＋…＋b10 ＝2 1－ 1 2 ＋ 1 2 － 1 3 ＋…＋ 1 10－ 1 11 ＝ 20 11. 答案 20 11 5.(人教 A 必修 5P33A5 改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数 列的一个通项公式 an＝________. 答案 5n－4 考点一 由数列的前几项求数列的通项 【例 1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)2 3 ， 4 15， 6 35， 8 63， 10 99，…； (3)1 2 ，2， 9 2 ，8， 25 2 ，…； (4)5，55，555，5 555，…. 解 (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝 对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大 6，故数列的一个通项公式为 an ＝(－1)n (6n－5). (2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为 1×3，3×5，5 ×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积.故所求数列的一个通 项公式为 an＝ 2n （2n－1）（2n＋1） . (3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观
察即,4916 2222,2,“,从而可得数列的一个通项公式为an=2 (4)将原数列改写为。×9,。×99,。×99,…,易知数列9,99,99,…的通项 为10-1,故所求的数列的一个通项公式为an=。(10-1) 规律方法根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观察分析,抓住以下几方 面的特征:分式中分子、分母的各自特征;相邻项的联系特征;拆项后的各部分 特征;符号特征应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想. 【训练1】(1)数列 1×2’2×33×44×5 的一个通项公式 (2)数列{am}的前4项是,1, 79 10’17 则这个数列的一个通项公式 解析(1)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数 项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式为an=(-1y2 (n+1) (2)数列a的前4项可变形为12+12+132+1”42+1,故an≈2n+1 2×1+12×2+12×3+12×4+1 答案(1)(-1 2n+1 (n+1) n2+1 考点二由Sn与an的关系求an 【例2】设数列{an}的前n项和为S,数列{Sm}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn n2,n∈N (1)求a1的值 (2)求数列{an}的通项公式 解(1)令n=1时,7=2S1-1, ∵n7=S1=a1,∴a1=2 (2m≥2时,Tn-1=2Sn-1-(m-1), JI Sn,=Tn-Tn-|=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-12] =2(Sn-Sn-1)-2n+1 =2an-2n+1 因为当n=1时,a1=S1=1也满足上式
察.即 1 2 ， 4 2 ， 9 2 ， 16 2 ， 25 2 ，…，从而可得数列的一个通项公式为 an＝ n 2 2 . (4)将原数列改写为5 9 ×9， 5 9 ×99， 5 9 ×999，…，易知数列 9，99，999，…的通项 为 10n－1，故所求的数列的一个通项公式为 an＝ 5 9 (10n－1). 规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方 面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分 特征；符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想. 【训练 1】(1)数列－ 1 1×2 ， 1 2×3 ，－ 1 3×4 ， 1 4×5 ，…的一个通项公式 an＝________. (2)数列{an}的前 4 项是3 2 ，1， 7 10， 9 17，则这个数列的一个通项公式 an＝________. 解析 (1)这个数列前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数 项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为 an＝(－1)n 1 n（n＋1） . (2)数列{an}的前4项可变形为2×1＋1 1 2＋1 ， 2×2＋1 2 2＋1 ， 2×3＋1 3 2＋1 ， 2×4＋1 4 2＋1 ，故an＝ 2n＋1 n 2＋1 . 答案 (1)(－1)n 1 n（n＋1） (2)2n＋1 n 2＋1 考点二 由 Sn 与 an 的关系求 an 【例 2】 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列{Sn}的前 n 项和为 Tn，满足 Tn＝2Sn －n 2，n∈N* . (1)求 a1 的值； (2)求数列{an}的通项公式. 解 (1)令 n＝1 时，T1＝2S1－1， ∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1. (2)n≥2 时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2， 则 Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n 2－[2Sn－1－(n－1)2 ] ＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1 ＝2an－2n＋1. 因为当 n＝1 时，a1＝S1＝1 也满足上式
所以Sn=2an-2n+1(n≥1), 当n≥2时,Sn-1=2am-1-2(m-1)+1 两式相减得an=2an-2an-1-2, 所以an=2an-1+2(n≥2),所以an+2=2(an-1+2), 因为a1+2=3≠0, 所以数列{an+2}是以3为首项,公比为2的等比数列 所以an+2=3 当n=1时也成立, 所以an=3×2n1-2 规律方法数列的通项a与前n项和Sn的关系是an= 1,n Sn-Sn-1,n≥2 时,a1若适合S一S-1,则n=1的情况可并入n≥2时的通项ω;当n=1时, a1若不适合Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示 【训练2】(1)已知数列{am}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2am+1,则Sn=( 2 (2)若数列{an}的前n项和Sn=2an+2,则an}的通项公式an= 解析(1)∵Sn=2an+1,∴当n≥2时,Sn-1=2an, 即1=3m≥2), 又 当n=1时 n 2
所以 Sn＝2an－2n＋1(n≥1)， 当 n≥2 时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1， 两式相减得 an＝2an－2an－1－2， 所以 an＝2an－1＋2(n≥2)，所以 an＋2＝2(an－1＋2)， 因为 a1＋2＝3≠0， 所以数列{an＋2}是以 3 为首项，公比为 2 的等比数列. 所以 an＋2＝3×2 n－1，∴an＝3×2 n－1－2， 当 n＝1 时也成立， 所以 an＝3×2 n－1－2. 规律方法 数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an＝ S1，n＝1， Sn－Sn－1，n≥2. 当 n＝1 时，a1 若适合 Sn－Sn－1，则 n＝1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an；当 n＝1 时， a1 若不适合 Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示. 【训练 2】 (1)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则 Sn＝( ) A.2 n－1 B. 3 2 n－1 C. 2 3 n－1 D. 1 2 n－1 (2)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝ 2 3 an＋ 1 3 ，则{an}的通项公式 an＝________. 解析 (1)∵Sn＝2an＋1，∴当 n≥2 时，Sn－1＝2an， ∴an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2)， 即 an＋1 an ＝ 3 2 (n≥2)， 又 a2＝ 1 2 ，∴an＝ 1 2 × 3 2 n－2 (n≥2). 当 n＝1 时，a1＝1≠ 1 2 × 3 2 －1 ＝ 1 3 ， ∴an＝ 1，n＝1， 1 2 3 2 n－2 ，n≥2