全方位教学辅导教案 学科:数学任课教师: 授课时间:2012年11月3日星期 姓名 性别|女 年级|高二 总课时:第 次课 教学 均值不等式应用(技巧) 内容 教学 1、熟悉均值不等式的应用题型 目标 2、掌握各种求最值的方法 重点重点是掌握最值应用的方法 难点难点是不等 的应用 课前作业完成情况: 检查 教与交交流与沟通 均值不等式 1.(1)若a,b∈R,则a2+b222ab(2)若ab∈R,则2+b2(当且仅当a=b 针 时取“=” 对2.()若a,b∈R,则红+b2④2)若a,b∈R,则a+b≥2√mb(当且仅当a=b 过 性/时取“ (若anb∈R∵,则mb≤(+b)(当且仅当a=b时取“=) 授 3.若x>0,则x+1≥2(当且仅当x=1时取“=”):若x<0,则x+1≤-2(当且仅当 程 课 x=-1时取“=” 若x≠0,则x+1≥2即x+122或x+1≤2(当且仅当a=b时取“ 3.若ab>0,则a+b≥2(当且仅当a=b时取“=”) 若ab≠0,则、62即9b2或+≤2(当且仅当a=b时取“=”) 4.若a,b∈R,则(2-)≤ (当且仅当a=b时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时 可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大 (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面 有广泛的应用
1 全方位教学辅导教案 学科： 数学 任课教师： 授课时间： 2012 年 11 月 3 日 星期 姓 名 性 别 女 年 级 高二 总课时： 第 次课 教 学 内 容 均值不等式应用（技巧） 教 学 目 标 1、熟悉均值不等式的应用题型 2、掌握各种求最值的方法 重 点 难 点 重点是掌握最值应用的方法 难点是不等式条件的应用 教 学 过 程 课 前 检 查 与 交 流 作业完成情况： 交流与沟通 针 对 性 授 课 一．均值不等式 1.（1）若 a,b R ，则 a b 2ab 2 2 + (2)若 a,b R ，则 2 2 2 a b ab + （当且仅当 a = b 时取“=”） 2. (1)若 * a,b R ，则 ab a b + 2 (2)若 * a,b R ，则 a + b 2 ab （当且仅当 a = b 时取“=”） (3)若 * a,b R ，则 2 2 + a b ab (当且仅当 a = b 时取“=”） 3.若 x 0 ，则 1 x 2 x + (当且仅当 x =1 时取“=”）;若 x 0 ，则 1 x 2 x + − (当且仅当 x =−1 时取“=”） 若 x 0 ，则 1 1 1 x x x 2 2 -2 x x x + + + 即 或 (当且仅当 a = b 时取“=”） 3.若 ab 0 ，则 + 2 a b b a (当且仅当 a = b 时取“=”） 若 ab 0 ，则 2 2 -2 a b a b a b b a b a b a + + + 即 或 (当且仅当 a = b 时取“=”） 4.若 a,b R ，则 2 ) 2 ( 2 2 a b 2 a + b + （当且仅当 a = b 时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时， 可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面 有广泛的应用．
应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y=3x2+ 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:(2)y=2x+ 变式:4,求函数y=4x-2x4x-5 的最大值 技巧二:凑系数 例1.当0<x<4时,求y=x(8-2x)的最大值 解析:由0<x<4知,8-2x>0,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此 题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2x+(8-2x)=8为定值,故只需将 y=x(8-2x)凑上一个系数即可。 评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不 等式求最大值。 变式:1、设0<x<,求函数y=4x(3-2x)的最大值。并求此时x的值
2 应用一：求最值 例 1：求下列函数的值域 （1）y＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y＝x＋ 1 x 解题技巧： 技巧一：凑项 例 1：(2) 1 2 , 3 3 y x x x = + − 。 变式：已知 5 4 x ，求函数 1 4 2 4 5 y x x = − + − 的最大值 。 技巧二：凑系数 例 1. 当 时，求 y x x = − (8 2 ) 的最大值。 解析：由 知， ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此 题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到 2 (8 2 ) 8 x x + − = 为定值，故只需将 y x x = − (8 2 ) 凑上一个系数即可。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不 等式求最大值。 变式：1、设 2 3 0 x ，求函数 y = 4x(3 − 2x) 的最大值。并求此时 x 的值
2.已知0<x<1,求函数y=√x1-x)的最大值: 3.0<x<,求函数y=√x2-3x)的最大值 技巧三:分离 例3.求y=x+7x+10 x+1(x>-1)的值域 技巧四:换元 解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x+1,化简原式在分离求最值。 (t-1)2+7(t-1)+10_12+5t+4 当x>+1,即=x+1>0时y≥2,N*5=9(当=2即x=1时取“=”号)。 评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利 用不等式求最值。即化为y=mg(x)++B(A>0,B>0),g(x)恒正或恒负的形式,然 g(x) 后运用均值不等式来求最值。 变式 x2+3x+1 (1)y (x>0)
3 2．已知 0 1 x ，求函数 y x x = − (1 ) 的最大值.； 3． 2 0 3 x ，求函数 y x x = − (2 3 ) 的最大值. 技巧三： 分离 例 3. 求 2 7 10 ( 1) 1 x x y x x + + = − + 的值域。 技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t=x＋1，化简原式在分离求最值。 2 2 ( 1) 7( 1 +10 5 4 4 = 5 t t t t y t t t t − + − + + = = + + ） 当 ,即 t= 时, 4 y t 2 5 9 t + = （当 t=2 即 x＝1 时取“＝”号）。 评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利 用不等式求最值。即化为 ( ) ( 0, 0) ( ) A y mg x B A B g x = + + ，g(x)恒正或恒负的形式，然 后运用均值不等式来求最值。 变式 (1) 2 3 1,( 0) x x y x x + + =
技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数/(x)=x+2 的单调性 例:求函数y h2+4的值域。 解:令√x2+4=1(t≥2),则 x2+5 t+-(t≥2 因t>0.t=1,但t=解得t=土1不在区间[2,+∞),故等号不成立,考虑单调性 因为y=+7在区间[L+x)单调递增,所以在其子区间[2+)为单调递增函数,故y22 所以,所求函数的值域为,+∞ 条件求最值 1.若实数满足a+b=2,则3+3的最小值是 变式:若log4x+log4y=2,求一+一的最小值并求xy的值 技巧六:整体代换: 2:已知x>0,y>0,且 1,求x+y的最小值 变式:(1)若x,y∈R且2x+y=1,求1+1的最小值 已知a,b,x,y∈R+且2 求x+y的最小值
4 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 ( ) a f x x x = + 的单调性。 例：求函数 2 2 5 4 x y x + = + 的值域。 解：令 2 x t t + = 4 ( 2) ，则 2 2 5 4 x y x + = + 2 2 1 1 4 ( 2) 4 x t t x t = + + = + + 因 1 t t 0, 1 t = ，但 1 t t = 解得 t =1 不在区间 2,+) ，故等号不成立，考虑单调性。 因为 1 y t t = + 在区间 1,+) 单调递增，所以在其子区间 2,+) 为单调递增函数，故 5 2 y 。 所以，所求函数的值域为 5 , 2 + 。 条件求最值 1.若实数满足 a +b = 2 ，则 a b 3 + 3 的最小值是 . 变式：若 4 4 log log 2 x y + = ，求 1 1 x y + 的最小值.并求 x,y 的值 技巧六：整体代换： 2：已知 x y 0, 0 ，且 1 9 1 x y + = ，求 x y + 的最小值。 。 变式： （1）若 + x, y R 且 2x + y = 1 ，求 x y 1 1 + 的最小值 (2)已知 + a,b, x, y R 且 + = 1 y b x a ，求 x + y 的最小值
技巧七、已知x,y为正实数,且x2+)=1,求x+y2的最大值 技巧八:已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y=m的最小值 分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问 题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的:二是直接用基本不等 式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值 虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行 b 点评:①本题考查不等式≥√ab(ab∈R+)的应用、不等式的解法及运算能力:②如 何由已知不等式ab=a+2b+30(a,b∈R)出发求得ab的范围,关键是寻找到a+b与ab 之间的关系,由此想到不等式a+b ≥√amb(a,b∈R+),这样将已知条件转换为含ab的不 等式,进而解得ab的范围 变式:1已知a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求a+b的最小值。 2.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值
5 技巧七、已知 x，y 为正实数，且 x 2＋ y 2 2 ＝1，求 x 1＋y 2 的最大值. 技巧八：已知 a，b 为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数 y＝ 1 ab 的最小值. 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问 题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等 式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考 虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。 点评：①本题考查不等式 ab a b + 2 （a,b R +） 的应用、不等式的解法及运算能力；②如 何由已知不等式 ab a b = + + 2 30（a,b R +） 出发求得 ab 的范围，关键是寻找到 a + b与ab 之间的关系，由此想到不等式 ab a b + 2 （a,b R +） ，这样将已知条件转换为含 ab 的不 等式，进而解得 ab 的范围. 变式：1.已知 a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求 a＋b 的最小值。 2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值