上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（课件讲稿）07、多维随机变量及分布 §3.1 二维随机变量 §3.2 边缘分布

例1(P.64例1)设(X,Y)的联合分布函数是 F比，2AB+arctan)(C+arctan, x,y∈R 其中A,B,C为常数， (I)确定A,B,C的值； (2)求P(2<X<+o,0<Y≤3). 解(1)由分布函数的基本性质知 Fto,o)=A(B+2)(C+)=L,→A≠0，B+受0，C+受*0， Fm+四=A(B-2)C+=0 四=A(B+(C-药)=0户B-号=0， →B=C=受，A=克.F(x,)=之（号+arctan吃）（爱+aretan3, x,y∈R (2)P(2<X<+∞，0<Y≤3)=F(+∞3)-F(+∞0)-F(2,3)+F(2,0) 京受+)受+翠)-（受+）（受+0） 京（受+孕受+军）+之空+军（受+0

P(2 X , 0Y 3)  F( , 3)F( , 0)F(2, 3) F(2, 0) 解 ⑴ ⑴ 确定A ,B ,C 的值; ⑵ 求 P(2<X<+, 0<Y 3). 例1(P.64 例1) 设(X,Y )的联合分布函数是 其中 A ,B ,C 为常数 , x y R y C x F x y  A B  ), ,  3 )( arctan 2 ( , ) ( arctan F(, )  1 ) 1, 2 )( 2  (      A B C ) 0, 2 )( 2 ( ,  )  (      F A B C ) 0, 2 )( 2 ( ,  )  (      F A B C ⑵ ) 2 4 )( 2 2 ( 1 2         0, 2 0, 2   0,       A B C . 1 , 2 2   B C  A 0, 2 0, 2           B C 0) 2 )( 2 2 ( 1  2       ) 2 4 )( 2 4 ( 1 2         0) 2 )( 2 4 ( 1  2       由分布函数的基本性质知 x y R x y F x y    ), ,  3 arctan 2 )( 2 arctan 2 ( 1 ( , ) 2    . 16 1 

二、二维离散型随机变量及其分布列 二维离散型随机变量 类比 维离散型随机变量 (X,Y)=(x,yj),i,j=1,2, X=x)j=1,2,… P.65定义3 (X,Y)的概率分布 X的概率分布 P(X=xi,Y=yj)=Pij 分布列 X和Y的 P(X=xj)=Pi 非负性 P≥0， 联合分布列 乃≥0； 规范性 ΣΣ，=1 可表示为 表格形式 E1. X和Y的联合分布函数 X的分布函数 F(x,y)=PX≤x,Y≤y) F(x)=P(X≤x) =∑∑Pi(-0<x,y<0) P1 xi≤x xi≤xy≤y

二、 二维离散型随机变量及其分布列 二维离散型随机变量 (X,Y)(xi , y j ), i, j 1,2,  (X,Y )的概率分布 一维离散型随机变量 X xj , j 1, 2,         1. 0; j j j p p X 的概率分布 P X xj pj ( ) 分布列 ( , ) P Xxi Y yj X 和Y 的 联合分布列        1 0, i j ij ij p p 可表示为 表格形式 X 的分布函数      x x j j p F(x) P(X x) X 和Y 的联合分布函数 F(x, y)  P(X x, Y  y) (  x, y ) 类比        1 0, i j ij ij p 非负性 p 规范性 P.65 定义3 pij      y y ij xi x j p

例2设随机变量X在1,2,3,4中等可能地取值， Y在1一X中等可能地取整数值，求(X,Y)的分布列. 解确定随机变量的取值 F(x,y)=P(X≤x,Y≤y) Pii =P(X=i,Y=j) =∑P =P({X=i}∩{Y=j) xi≤x,y防≤y F(2,2)=P(X≤2，Y≤2) =P(Y=jX=i)·P(X-n =∑p =4 P.67例3请自读 xi≤2，yj≤2 (i=1,2,3,4,j≤i) =P(X=1,Y=1) 2 3 4 +P(X=1,Y=2) 1/4 1/8 1/12 1/16 +P(X=2,Y=1) 2 0 1/8 1/12 1/16 +P(X=2,Y=2) 3 0 1/12 1/16 =1/2 0 0 0 1/16

{Xi , Y j} {Xi}{Y j}  P(Yj X i)P(Xi) ij p  P({Xi}{Y j }) 例2 设随机变量 X在 1,2,3,4 中等可能地取值, Y 在 1—X 中等可能地取整数值, 求( X,Y)的分布列. 解 确定随机变量的取值 ( 2, 2) ( 2, 1) ( 1, 2 ) ( 1, 1)             P X Y P X Y P X Y P X Y ( i1, 2, 3,4, j  i ) 4 1 1   i 1/4 X 1 2 3 4 Y 1 2 3 4 1/8 1/8 0 0 1/12 1/12 1/ 12 0 1/16 1/16 1/16 1/16        x x y y ij i j p F x y P X x Y y , ( , ) ( , )        2, 2 (2, 2) ( 2, 2) xi yj pi j F P X Y = 1/ 2  P(Xi, Y j) 0 0 0 P.67 例3请自读