然后令,2+x 2-x=1t>0,并由此解出 2(t2-1 dx= 因而 C 说明本例使用了五种不同的换元法进行计算,其结果在形式上虽不相同,但均可相互 转化,选择何种换元方法,应根据被积函数的特征,灵活应付。 2分部积分法与有理函数的积分 例1求下列不定积分(降幂法) (1)J2x-1)cos3xdx (2)∫x2e3d 解(1)令=2x-1,v=cos3x,于是u=2,y=sin3x,因而 J(2x-1)cos 3xdx=-(2x-1)sin 3x-=sin 3xdx =-(2x-Isin 3x+=cos 3x+C (2)∫x2e'ax=x2lde 2 2 xex+=Edx 6x+2)
然后令 , 0 2 2 t t x x = − + ，并由此解出 ( ) 1 2 1 2 2 + − = t t x ， 1 4 2 2 + − = t x ， ( ) dt t t dx 2 2 1 8 + = 因而 ( ) ( ) ( ) ( ) dt t t t t t t x x dx 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 1 1 8 4 − + + + = − C t t t dt + + − = − = 1 1 ln 2 1 1 2 C x x x x + + + − + − − = 2 2 2 2 ln 2 1 说明 本例使用了五种不同的换元法进行计算，其结果在形式上虽不相同，但均可相互 转化，选择何种换元方法，应根据被积函数的特征，灵活应付。 2 分部积分法与有理函数的积分 例 1 求下列不定积分（降幂法）： （1） (2x −1)cos3xdx ； （2） x e dx 2 3x 解 （1）令 u 2x 1, v cos3x ' = − = ，于是 u v sin 3x 3 1 2, ' = = ，因而 ( x ) xdx ( x ) x sin 3xdx 3 2 2 1 sin 3 3 1 2 −1 cos3 = − − = ( x − ) x + cos3x + C 9 2 2 1 sin 3 3 1 （2） = x x x e dx x d e 2 3 2 3 3 1 x e xe dx 2 3x 3x 3 2 3 1 = − = − x x x e xd e 2 3 3 3 1 3 2 3 1 x e xe e dx 2 3x 3x 3x 9 2 9 2 3 1 = − + (9 6 2) 27 1 3 2 e x − x + x
注适合应用“降幂法”的不定积分有如下一些类型 JP."dx, JP, sin bxdx, JP (x)cosbxdx 其中P(x)为某一n次多项式,对这些不定积分,只须令u=P(x),v=e"(或 sin bx. cos bx) 每用一次分部积分,便能使多项因子降幂一次:重复使用n次,可使多项式因子降幂成一常 数,而剩下的是求e“(或snbx, cos bx)的不定积分。 例2求下列不定积分(升幂法) ∫(2x-1)hxdx J(2 1arctanxdx 解(1)令以=x”=2x-1,于是u=1,=x2-x,因而 (2x-1)In xdx=(x-x)lnx-J (x2-xInx-5x2+x+C (2)令u= arctan x,v=x2-1,于是u 因而 +x 3 x arctan 3 (r'-3x)arctanx-3rf +x2)+C n(+x2)+C (3)∫x2 arcsin xdx=∫ arcsin x 而「
注 适合应用“降幂法”的不定积分有如下一些类型： P (x)e dx ax n ， P bxdx n sin ， P (x) bxdx n cos 其中 P (x) n 为某一 n 次多项式，对这些不定积分，只须令 u P (x) = n ， ax v = e ' （或 sin bx,cosbx ）， 每用一次分部积分，便能使多项因子降幂一次；重复使用 n 次，可使多项式因子降幂成一常 数，而剩下的是求 ax e （或 sin bx,cosbx ）的不定积分。 例 2 求下列不定积分（升幂法）： （1） (2x −1)ln xdx ； （2） (x 1)arctanxdx 2 − ； （3） x arcsin xdx 2 解（1）令 ln , 2 1 ' u = x v = x − ，于是 v x x x u = = − ' 2 , 1 ，因而 ( ) ( ) dx x x x x xdx x x x − − = − − 2 2 2 1 ln ln = (x − x) x − x + x + C 2 2 2 1 ln （2）令 arctan , 1 ' 2 u = x v = x − ，于是 2 ' 1 1 x u + = ， x x v = − 3 3 ，因而 ( ) ( ) d x x x x x x x x xdx 2 3 3 2 3 1 3 arctan 3 1 arctan + − − − = − ( ) dx x x x x x x + = − − − 2 3 1 4 3 1 3 arctan 3 1 ( ) ( x ) C x x x x + = − − − + 2 2 3 2ln 1 3 2 1 3 arctan 3 1 ( ) ( x ) C x x x x + = − − + + 2 2 3 2ln 1 2 3 arctan 3 1 （3） = 3 arcsin arcsin 3 2 x x xdx xd dx x x x x 2 3 3 3 1 1 arcsin 3 − = − , 而 ( ) 2 2 2 3 1 1 dx x d x x x = − − − x x x x dx 2 2 2 = − 1− + 2 1−