41元源性形式 ●KY引理 对系统汇=Ax严格稳定的系统,有对任意的对称 正定矩阵Q,存在对称正定矩阵P,使得 AP+PA=-Q--李雅普若夫方程 令
6 4.1 无源性形式 KY引理 对系统 严格稳定的系统，有对任意的对称 正定矩阵 ，存在对称正定矩阵 ，使得 ---李雅普若夫方程。 令 x Ax = Q P T A P PA Q + = − 1 2 T V x Px = 1 2 T V x Qx = −
●42系统的耗散性和无源性 ●42.1物理系统的基本性能 耗散性( dissipativity)是与能量损失或耗散现象紧密相关的 物理系统的基本性质[22]。典型耗散系统的例子是电路,电 路中部分电能和磁场能在电阻中以热的形式耗散。在机械系 统中,摩擦也起到类似的作用。要精确地定义耗散性,需引 两个函数 一是反映流入系统能量的速率,即供给率( supply rate) 二是测量存入系统能量的存储菡数( storage function)。 这些函数是通过耗散不等式联系在一起。耗散不等式意思是 沿着耗散系统的时间轨迹供给率不少亍能量存储的增加,这 就表明了耗散系统存储的能量不能多亍外界供入的能量,二 者之差就是耗散的能量
7 4.2 系统的耗散性和无源性 4.2.1 物理系统的基本性能 耗散性（dissipativity）是与能量损失或耗散现象紧密相关的 物理系统的基本性质[22]。典型耗散系统的例子是电路，电 路中部分电能和磁场能在电阻中以热的形式耗散。在机械系 统中，摩擦也起到类似的作用。要精确地定义耗散性，需引 入两个函数： 一是反映流入系统能量的速率，即供给率（supply rate）； 二是测量存入系统能量的存储函数（storage function）。 这些函数是通过耗散不等式联系在一起。耗散不等式意思是 沿着耗散系统的时间轨迹供给率不少于能量存储的增加，这 就表明了耗散系统存储的能量不能多于外界供入的能量，二 者之差就是耗散的能量
●422系统的耗散性和无源性定义 ●考虑M输入M输出系统 Xu S 0)=x∈R (4.15) y=h(r) f是关于(x,n)局部M∈R"为输出,是关于x连续的; 式中x∈Ru∈R";为输入, 定义3.1.1(耗散性)当且仅当存在存储西数H:R"→R≥0有 H(x(m)≤H(xO)+「o(u(r),y(r)xt,T≥0(4.16) 系统S相对于O(u,y)供给率是耗散的
8 4.2.2 系统的耗散性和无源性定义 考虑M输入M输出系统 式中 ， ；为输入； 为输出，是关于x连续的； f是关于 局部Lipschitz的。 定义3.1.1（耗散性）当且仅当存在存储函数 有 则系统s相对于 供给率是耗散的。 0 ( , ), : (0) ( ), n x f x u S x x R y h x = = = (4.15) n x R m u R m y R ( , ) x u : 0 n H R R → 0 ( ( )) ( (0)) ( ( ), ( )) , 0 T H x T H x u y d T + (4.16) ( , ) u y
●422系统的耗散性和无源性定义 ●定义4.1.2(元缘性) 当系统是耗散的,且供给率ω(n,y)=uy,则S是无源的。显然 o(u 无緣性是耗散性的特铟G系统是耗散的,且 (为输入严格元缘度,),则S是输入严格无源的nP strictly passive,ISP)同理,若系统是耗散的,且 (为输入严格无缘度,),则是输出严格无源的( output strictly passive, OSP) 更具体地饼,对于系统(4.1.5),如果存在连续可微半正定 西数(存储函数)得 y≥=(x,m)=L,H(x,i(x,m)∈R 成立,则系统是无源的。 会废痹诺大娑
9 4.2.2 系统的耗散性和无源性定义 定义4.1.2（无缘性） 当系统是耗散的，且供给率 ，则s是无源的。显然 ， 无缘性是耗散性的特例。若系统是耗散的，且 （为输入严格无缘度， ），则s是输入严格无源的（input strictly passive，ISP）。同理，若系统是耗散的，且 （为输入严格无缘度， ），则是输出严格无源的（output strictly passive，OSP）。 更具体地讲，对于系统（4.1.5），如果存在连续可微半正定 函数（存储函数）使得 成立，则系统是无源的。 ( , ) T u y u y = 2 ( , ) - T i u y u y u = 0 i 2 ( , ) - T o u y u y y = 0 o ( , ) ( ), ( , ) T n m f H u y H f x u L H x x u R R x = = (4.17)
●423耗散性、无源性与稳定性 ●设系统 x x. ul ly=h(x (3.11) 为耗散(元源)系统,且H(x)≥0为相应的存储菡数。H(x)在 X-0处取严格最小值,即H(x)>H(0),x≠0则为系统(4.11) 的自由通动x=f(x,0)的稳定平衡收态。 利用H(x)研究仿射浓线性系统 f(x)+g(x) y=M(x)+(x) 的稳定性。对此,给出零状态可观测和可检测定义
10 4.2.3 耗散性、无源性与稳定性 设系统 为耗散（无源）系统，且 为相应的存储函数。 在 x=0 处取严格最小值，即 ， ，则为系统（4.11） 的自由运动 的稳定平衡状态。 利用 研究仿射非线性系统 的稳定性。对此，给出零状态可观测和可检测定义。 ( , ) ( , ) x f x u y h x u = = (3.11) H x( ) 0 H x( ) H x H ( ) (0) x 0 x f x = ( ,0) H x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f x g x u y h x j x u = + = + (4.12)