《固体物理学》课程教学课件（讲稿）第一章 晶体结构 1.5 晶体的对称性

X00Xi02cosA-sineX20sinecosoXX3010A=0cosa-sinaR0sinecos晶体中允许有几度旋转对称轴呢？B'4设B,ABA,是晶体中某一晶面上的一个晶列，AB为这一晶00列上相邻的两个格点。BAB1A1G

                       3 2 1 3 2 1 0 sin cos 0 cos sin 1 0 0 x x x x x x                 0 sin cos 0 cos sin 1 0 0 A 晶体中允许有几度旋转对称轴呢? 设B1ABA1是晶体中某一晶 面上的一个晶列，AB为这一晶 列上相邻的两个格点。 A1 B A B 1   B A 

B'若晶体绕通过格点A并垂直于纸面的u轴逆时针转角后，B点转到B点，若此时晶格自身重合，B'处原0.0BAB1A1来必定有格点。若晶体绕通过格点B并垂直于纸面由于晶格的周期性的u轴顺时针转确角后，A点转到AA和B完全等价点，若此时晶格自身重合，A'处原来必定有格点。A'B是AB的整数倍，A'B = mAB = AB(1 + 2cos(π - 0)) = AB(1 - 2cos)m= 1-2cos0,-1≤coso≤1, -1≤m≤3m取值-1,0,1,2,3话

若晶体绕通过格点A并垂直于纸面 的u轴逆时针转角后，B点转到B’ 点，若此时晶格自身重合， B’处原 来必定有格点。 AB 是 AB 的整数倍， A1 B A B 1   B A  若晶体绕通过格点B并垂直于纸面 的u轴顺时针转角后，A点转到A’ 点，若此时晶格自身重合， A’处原 来必定有格点。 由于晶格的周期性， A和B完全等价

2元360°0=60°90°120°180°,n =1,2,3,4,6n2元A综合上述证明得：,n =1,2,3,4,6-n晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴236

1 2 3 4 6 2π  ,n  , , , , n θ 晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。 综合上述证明得： 1 2 3 4 6 1 2 3 4 6 2π  ,n  , , , , n 60° 90° 120° 180° 360° θ

正五边形沿竖直轴每旋转720恢复原状，但它不能重复排列充满一个平面而不出现空隙。因此晶体的旋转对称轴中不存在五次轴，只有1，2，3，4，6度旋转对称轴(2)中心反演（i，对称素为点）取中心为原点，经过中心反演后，图形中任一点变为(-x,-x,,-x,)(xi,x,,x,)x-Xi00-1T-X200-1A=一001-X34

正五边形沿竖直轴每旋转720恢 复原状，但它不能重复排列充满一个 平面而不出现空隙。因此晶体的旋转 对称轴中不存在五次轴，只有1，2， 3，4，6度旋转对称轴。 (2)中心反演(i，对称素为点) 取中心为原点，经过中心反演后，图形中任一点 ( , , ) x1 x2 x3 ( , , ) 变为  x1  x2  x3                    3 2 1 3 2 1 x x x x x x           0 0 1 0 1 0 1 0 0 A A  1

(3)镜象(m，对称素为面)如以x;=0面作为对称面，，镜象是将图形的任何一点变为(x,x,,x)(x,x,,-x)X0013X2010A= -100x-X33(4)旋转--反演对称2元以后，再经过中心反演，晶体自若晶体绕某一固定轴转n身重合，则此轴称为n次(度)旋转--反演对称轴。E

(3)镜象(m，对称素为面) 如以x3=0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点 ( , , ) x1 x2 x3 ( , , ) 变为 x1 x2  x3         0 0 1 0 1 0 1 0 0 A A  1                  3 2 1 3 2 1 x x x x x x (4)旋转-反演对称 若晶体绕某一固定轴转 以后，再经过中心反演,晶体自 身重合，则此轴称为n次(度)旋转-反演对称轴。 n 2π