《高等数学》上册救案第一章函数与极限 注：①以上的两个定理反映了极限mf(x)存在时，函数在点x,邻域内的特性。 ②设x∈N,)时，有>0，且im)=A,问A如何？ 定理3、（极限的四则运算法则）设imfx)=A,Iimg(x)=B,，则 ①lim[/(x)+g(x】=limf(x)±lim g(x)=A±B ②lim[f(x)g(x】=limf(x)lim g(x)=A:B ③m因.ma4 8⊙m8日(B≠0) 证：②考虑极限过程为x→，即mf)=A,mg)=B,由定义 eo.盟308-水8侧 1g(x)-BKE 不妨设8<min{引A,B},取6=mim{6,d,},则Ve>0,36>0,当0x-K6时， If(x)-AKE,Ig(x)-BKE, If(x)A+If(x)-AKAI+6<21A1 Ig(x)B|+1g(x)-BKBI+6<2BI f(x)g(x)-AB|=f(x)g(x)-Ag(x)+Ag(x)-AB] f(x)-Alg(x)川+|A‖gx)-B1 <2BE+A E<(2B+ADE A ME 证得：im[/c)g(x】=AB。 推论、①limk,fx)=klim f(x) ②lim[f(x=imf(xr(其中n是非负整数) 例6、末极限x本 lim x 1 清号 例7、求极限四2之-9 x-3 新品高君，国刊 x_3 注：①当x→0时，对于有理函数有如下结论(4，≠0，b。≠0) 第11页一共38页 系永密
《高等数学》上册牧案 第一章函数与极限 lim 「0n<m 6+度 nzm 利用此结论，对于上述类型的极限，均可以直接写出结果，如 0号 241 例8、术保▣9》 2-号 54 §7.极限存在准则与重要极限 准则1、在同一极限过程中，函数fx),g(x),x)满足 ①gx)sfx)sx) ②limg(x)=A,lim hx)=A 则limf(x)存在，且imfx)=A。 证：考虑极限过程x→，由mg)=A,m()=A有 e>0,36>0,当0<x-x<6时，lg(x)-A<e 8>0,362>0,当0<x-x<6,时，Mx)-A<6 取6=min{8,62},则当0<k-x<6时，g(x)-<e与x)-A<e同时成立，即同时 有A-E<gx)<A+e和A-E<x)<A+E,利用条件可得 A-E<g(x)<f(x)<hx)<A+8 从而，fx)-A<e,证得imfx)=A。 对于0<x<元，面积之间有不等式：Soc<Sx<So 且由于Sc-血r,Sac-,5om=之am,则有 2snxr<r<amx sinx<x<tanx 第12页一共38页 永会
《高等数学》上册救牧案第一章函数与极限 由如>0，两瑞同时隆以m,1后或os<血<1。上送不等式对 1 受<x<0也成立，即对0<<行，均有c0sx<血<1，且mc0sx=1,四l=1,则由 夫遥准则，可得回-1.第一个重要板限：一1（号型 注：①函教)=血在点x=0无定义，但极限仍然存在，此极限属于8型的极限： ②当)-→0时，im血o0=l。 p(x）) 例、表规及回马兰，=典 sin2x x-a 准则1川、单调有界数列必有极限。 注：此准则的证明需要用到上、下确界的概念，可参考任何一本理科 《数学分析》教材。设数列{y,}是单调递增的，则所有y的集合E一定是上方有界的非空 的，其上确界一定存在，设为M=supE,n,yn≤M:另一方面，V6>0,M'=M-6<M, 由于M是上确界，在E中必然有某个y,满足：yx>M'。由数列的单调递增性，当n>N时， 必有yn>yw>M,即n>N时 M-E=M'<yx<,≤M<M+E 即y。-M<e,证得Iimy,=M。 考虑数列和+宁的板限的存在性。借骑于不等式二。 <(n+b",（b>a), b-a 第13页一共38页 系永金