《高等数学》上册牧案 第一章函数与极限 有Da<,n水证保： 住：0N无不单-的，如ve>0,被水，只安 2ra0anr 11 即：n心之取N=中当>心=的时，必有n>之别水 (2)一般证明mx=a的方法是：6>0，由k,-d<6,或者由k,-d小<<8，解出 n>n(e),取N=[n(e]即可。 三、收敛数列的性质 定理1、（唯一性）若数列{x}收敛，则其极限是唯一的。 证：（反证法）假设，mx=a,mX,=b,且a≠b,由定义 o limx,=a 当n>N时，有n>N,N2,从而x。-d<e,与x。-b<e同时成立。 即口-=b-xn-b+xs。-d+。-<2e 此不等式矛盾，表明所作的假设不成立，从而只有a=b,唯一性得证。 定理2、（有界性）收敛的数列一定是有界的数列。 证：设数列{x,}收敛，则e>0,N,当n>N时，总有k-d<c。由c的任意小性 不妨设e<1,则当n>N时， x.=x-a+asx.-a+la<a+s<a+l 取M=max{xl,x,,k,a+},则对于任意的n,都有ssM,即数列{xn}有界。 定理3、（数列极限的央逼准则）设有数列{x},{y},{}满足 ①y≤x≤zn:②limy.=a,im2。=a 则数列{x}收敛于a,即limx,=a。 limy,=a 证： @=。ve>0 3N,n>N y-a<E 目N,n>N,.-ad<e 第6页一共38页 需永金
《高等数学》上册教案第一章函数与极限 即e>0,3N=max{N,N2},当n>N时，有n>N,N2,从而yn-d<e,与n-d<e 同时成立：即a-8<yn<a+E,a-e<zn<a+E同时成立，则a-E<yn≤xn≤zn<a+E, 从而有xn-d<e,证得：imx,=ae 例3、求极限m厅+a+D+++n: 1 :京，则%学 1 1 根据夫逼准则，m,=0。 (选讲)定理4、如果数列收敛于a,则其任意子列一定收敛且必收敛于a。 注：定理4表明，如果某数列的两个子列收敛于不同的值，则此数列一定发散。如(-1}， x21=-1→-1，xn=1→1，故此数列发散。 例4、设教列}有界，数列6}满足m%=0,证明：mx火=0。 证：由已知条件，数列化，}有界，则存在正数M使得sM对所有的n成立：m=0, 则e>0N,当m>N时，以-d=k号，从而Ve>0,3N,当n>N时， k,-<M=8,证得，m=0。 问题：若a,}是任意的数列，lmb,=0,问是否一定有ma,b=0? §4、函数的极限 一、自变量趋于无穷大时函数的极限(x→0，)→A)》 复习数列极限的定义：数列化}以a为极限即Iimx。=a台e>0,N,n>N 时，x。-d<8 令x,=f),则Iimf)=a台c>0,N,当n>N时，/n)-d<e。将n换成连 续变量x,将a改记为A,就可以得到x→0时，x)→A的极限的定义及其数学上的精 确描述。 定义1、V6>0,3X,当>X时，/(x)-<6,称A为x→0时，fx) 第7页一共38页 系永金
《高等数学》上册教案第一章函数与极限 的极限，记作imfx)=A,或f)→A,（x→o)。 注：①描述mfx)=A的语言称为使用的为￡~X语言； -----F- ②E的任意小性，X=X(e)的存在性，一般E越小，X越大： ③从图像上看，若imf(x)=A,则y=A是曲线y=fc)的水平渐近线： ④问题：极限1imf(x)=A,imfr)=A应如何用￡-X语言来描述。 树1、证明：=9=0 证：（应证明，VG>0,3X,当时>X时，mx-0lsm<G) x Ye>0,欲使1血x-0上ls血<6，因为1血x-01s血1s】 x 取-。X即小，必有要-0水付，运得：=要=0 二、自变量趋于有限值时函数的极限(f(x)→A,x→。) 1、定义 设画数-2-，画数在气=1无定义。但观察可得，当x充分接近于1，充 x-1 分接近于4：或当|x-1川充分小时，f(x)-4也充分的小。 -4 x-1 若要求/x)-4=21x-1k0.01,即只要k-<0.005:若要求|f)-4=2-1<0.0001, 只要x-<0.00005:.一般，对于可以任意小的正数6，若要求/x)-4<e,只要有 -<气，记=6，即只要有-<8：表明当0<水-<6时，就一定有/)-4<c 定义2、8>0,36>0，当0<-<6时，若有/(x)-A<e,则称当x→x时，函数 f)以A为极限，记作mf)=A或)→A(x→)。 注：(1)描述极限m)=A的数学语言称为c~6语言： (2)注意定义中e的任意小性，6的存在性，一般越小，6也越小： 第8页一共38页 需永盆
《高等数学》上册教案 第一章函数与极限 (3)定义中0<x-x,即x≠x。,表明imfx)存在与否与函数fx)在x,的状况无关，而 与x)在x。邻域内的状况有关： + (4)图像上看，当x落入(，-6，x+8)时，函 数fx)落入宽为2E的带子(A-6,A+)中。 例2、证明极限mr2-=3。 证：e>0,不纺设1<x<3,欲使r2-4=r+2k-2<6,只要： -4-+-2<-2<&,即k-2<号：取6=号，则当0<k-2k6时，有 -以k,证得：m-小=3。 注：用定义不难证明：常数的极限仍然为常数，以及mx=。 2、左极限与右极限（单侧极限) 若x从x,的左侧(x<x)趋于x时，有fx)→A,称A为函数x)在，的左极限，记 作imfx)=A,或f-0)=imf)=A: 若x从，的右侧(x>x)趋于x时，有x)→A,称A为函数)在，的右极限，记 作imfx)=A,或fx,+0)=Iimf(x)=A: x-1x<0 例3、设函数fx)={0x=0,试观察函数在x=0时的左、右极限。 x+1x>0 解：f0-0)=mf)=m-)=-l,f0+0)=mf)=m(+)=l 很显然，f0+0)≠f0-0)。 例4、观察图中的fx。+0)与(。-0)。 解：(1)、(2)中的左、右极限均存在，但是不相等，(3)中的左右极限存在且相等。 问题：左右极限与极限的关系，以上三例中的极限是否存在？注意到 第9页一共38页 系永密
《高等数学》上册教案第一章函数与极限 函数极限的定义，则 mf)=A:6>0,36>0,当0<-x<6时，/)-<e: m/)=A:6>0,38>0,当0<x-,<d时，/)-<6： mf)=A:6>0,36,>0,当0<-x<d时，()-A<6: 取6=mim{6,,62},则当0<x-x<6(0<x-x,<6,0<x-x<6)时，f(x)-<e。 定理、函数在一点极限存在的充分必要条件是在这一点的左右极限存在并且相等，即 mf)=A台imf)=imf)=A 由定理可知，以上前两例中的极限均不存在，而第三例的极限存在 [x+ax≤1 例5、观案高线){货问四因光百存在？ :右效限：职-册号册动号 1 左极限：mf)=mc+a)=l+a 根据左右极限与函载极限的关系，只有当1+口分，即口=}时。极限存在，并且有 )=若a极限则不存在。 三、函数极限的若干定理 定理1、（局部保号性定理）若极限1mfx)=A>0（A<0),则存在x,的一个6邻城 N,d),当x∈No,8)时，有fx)>0(fx)<0)。 证：由于immf)=A>0,由定义：e>0,38>0,当0<k-xl<6时，/x)-<e。 国为e是任意小的正数，不妨设E<A,则当0<k-xo<6即xeN(民。，)时，有f(x)-A<c, 即A-E<f)<A+E:从而可以得到：f(x)>A-E>0 注：事实上取E=,还可以得到更强的结论：若m)=A（40),则存在。的去 心邻城U),当xeU)时，有1fbl。 定理2、对于茉个8>0，设x∈N(住，)时，且有f)20(orf)≤0)，imf)=A,则 必有A≥0(orA≤0)。 第10页一共38页 需永会