复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第十三章 柱坐标下的分离变量法Bessel函数

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU x[(x)]-JoxJm(x)Jm(x)dx b x j (x)' (x)dx 其中第三步用到了分部积分。由于方程本身满足 0, 即xm(x)+x(x)+(x2-m)Jm(x)=0=xmm+xn]+(x2-m2)JmJm=0 所以被积函数 xJn=mJm-x￥(m) 如果J1(xm)=0,并且(x2,)=-x°z 2 lo 24 .(x)1 JmJ'mdx=mJ2(xl-I lo 27-(m,( m) 这是∵m=0:J(0)=1,m>0:Jn(0)=0.m(0)=0(m=0,1,2, 又∵(二m) 故 相似地,在第二类边界条件下Jn(xm)=0(自证) )p (6)广义 Fourier级数

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 11     ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) 0 2 2 ( ) 0 2 2 2 2 ( ) 0 0 2 2 ( ) 0 J ( ) J ( ) d J ( ) d 1 J ( ) J ( )J' ( )d 2 J ( )J' ( )d , m n m n m n m n a m m m n m n x m m n x x m m m m n x m m m n x x b b b x x x x b x x x x x x x b x x x x x              =           = −             = −         其中第三步用到了分部积分。由于方程本身满足 ( ) 2 2 2 x y xy x m y   + + − = 0, 即 ( ) 2 2 2 J'' ( ) J' ( ) J ( ) 0 m m m x x x x x m x + + − =   ( ) 2 2 2 2 J'' J' J' J J' 0, m m m m m  + + − = x x x m 所以被积函数 ( ) ' 2 2 2 2 1 J J' J J' J' . 2 m m m m m x m x = −     如果 ( ) J ( ) 0, m m n x = 并且 ( ) 1 x Z x Z ' ,     − − = − + 则   ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 0 0 1 1 1 J J' d J ( ) J' ( ) J' ( ) . 2 2 2 m m m n n n x x x m m m m m m n m n x x m x x x x x = − = −      0 RR m 1 ' 1 1 0 : J (0) 1, 0 : J (0) 0, J (0) 0( 0,1,2, ). J J J J' ( )' ( ) 0 J J . m m m m m m m m m m m m m m m m m x x x x x + + + = =  =  = = − = − = = = − 这是 又 . 当J 时， 故 ( ) 2 2 ( ) ( ) 1 0 1 J J' d J ( ) , 2 m n x m m m m n m n x x x x + = −      ( ) 2 2 ( ) 2 2 2 ( ) ( ) 1 0 1 J ( ) J ( )J' ( )d J ( ) . 2 m n x m m m n m m m n m n b x x x x x b x b x  +   = − =          相似地，在第二类边界条件下 ( ) J' ( ) 0 m m n x = （自证）： 2 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) 1 J ( ) 1 J ( ). 2 m m m n m n m n m x b x b x      = −           （6） 广义 Fourier 级数

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU 对于区间0≤p≤b上满足一定条件的任何函数f()[但是有条件:分段光 滑:积分川f()p存在],总是可以展开为小Jn(xm2)}的广义 Fourier级数 (0)=∑Jn(xn2 C 如果将f(p)展为本征函数族{J6xm2)}的广义 Fourier级数,当m≠0时 f()=∑C2 rf(p)JI epdp m)p b2|1- b Ja(Fim) 当m=0时,则为 o)=c+c1(e= 其中C=()p(源于=0其实C是下述C的特例并且J(0)=11 (p)1(2Np11p1e b 对于第三类齐次边界条件的本征值问题,可以进行类似地讨论(思考题)。 In Qu Mech., P=-ihV,E=ia r 对称性与守恒律:空间平移不变性动量守恒;空间转动不变性φ角动量 守恒;时间平移不变性◇能量守恒。一般稳态问题,D+1维空间有D个守恒量

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 12 对于区间 0    b 上满足一定条件的任何函数 f ( )  [但是有条件:分段光 滑；积分 0 | ( ) | d b f     存在] ，总是可以展开为 ( ) J ( ) m m n x b        的广义 Fourier 级数： ( ) 1 ( ) J m n m n n f C x b    =   =      ， 其中 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) 0 0 ( ) 1 1 2 ( )J d ( )J d J J b b m m n m n m n m m m n m n C f x f x b b b x x b          +     = =                 . 如果将 f ( )  展为本征函数族 ( ) J ( ) m m n x b        的广义 Fourier 级数，当 m  0 时 ( ) 1 ( ) J m n m n n f C x b    =   =      ， ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 ( ) 2 2 ( ) ( ) 1 2 ( )J d ( )J d . J 1 J b b m m n m n m n m m m n m m n n C f x f x b b m x b x b x              = =                   −            当 m = 0 时，则为 (0) 0 0 1 ( ) J , n n n f C C x b    =   = +      其中 0 2 0 2 ( ) d b C f b =     (源于 (0) 0 x = 0 )[其实 C0 是下述 Cn 的特例,并且 0 J (0) 1 = ], ( ) (0) (0) 2 0 0 2 2 (0) 0 0 (0) 0 0 1 2 ( )J d ( )J d J J b b n n n n n C f x f x b b b x x b              = =                 . 对于第三类齐次边界条件的本征值问题，可以进行类似地讨论（思考题）。 In Qu. Mech., , . P i E i = −  = t 对称性与守恒律：空间平移不变性  动量守恒；空间转动不变性  角动量 守恒；时间平移不变性  能量守恒。一般稳态问题， D +1 维空间有 D 个守恒量