复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第十三章 柱坐标下的分离变量法Bessel函数

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU Hx2(O)=∞(v=0,v≠O) (B)x很大(x→∞)时[衰减式震荡函数,证明见教材§13.5 J,(x)~ coSI x N,(x) 24 r(-24m(x-、2号 3. Bessel函数J(x)的基本性质(这里仅仅讨论整数阶Bese函数) (1)生成函数(母函数,复习) =∑J(x)2"(0<<∞) 特别地,令二=e,有e=∑J(x)em 证明: 则 e4-)=:=( 1-k :(+(一 均2k(k+n)(2 =0n=-1 (-n)2 ∑J(x)2”+∑(-1)"J(x)="=∑J(x)="+∑(-l)"(-1)"J(x)2 J,(x) (2)平面波按柱面波的展开(匹配、归化、一统描述 6

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 6 (1)(2) H (0) ( 0, 0).  =  =    (B). x 很大 ( ) x →  时 [衰减式震荡函数，证明见教材§13.5] 2 J ( ) ~ cos . 2 4 x x x         − −   2 N ( ) ~ sin . 2 4 x x x         − −   (1) 2 2 4 H ( ) ~ . i x x e x         − −   (2) 2 2 4 H ( ) ~ . i x x e x       − − −     3. Bessel 函数 J ( ) n x 的基本性质（这里仅仅讨论整数阶 Bessel 函数） （1）生成函数（母函数，复习） 1 2 J ( ) (0 ). x z z n n n e x z z   −      =− =     特别地，令 i z e  = ，有 sin J ( ) . ix in n n e x e    =− =  证明： ( ) 1 2 0 2 0 1 , ! 2 1 , ! 2 x l z l l x k k z k k x e z l x e z k −  =  − − =     =        −    =        则： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 0 0 0 0 1 2 2 0 0 0 1 1 ! ! 2 1 1 ! ! 2 ! ! 2 1 1 !( )! 2 !( )! 2 x x x k l k z z z z l k l k k k l k l k l k l k k l k l k l k l n n k n l n n k n l n x e e e z l k x x z z l k l k x x z z k k n l l n − − +   − − − = = + +     − − = = = = + + − + −    − = = = =− −   =  =     − −     = +         − −     = +     + −     =         0 1 0 1 J ( ) ( 1) J ( ) J ( ) ( 1) ( 1) J ( ) J ( ) . n n n n n n n n n n n n n n n n n n x z x z x z x z x z  −  − − − − − = =− = =−  =− + − = + − − =      （2）平面波按柱面波的展开（匹配、归化、一统描述）

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU e2=∑Jm(x)r t=k e J(x)+2∑Jn(kp)”cos(mB) 这里已用到了Jn(x)=(-)Jn(x)和em+(-1)mem=2mcos(mO) (3)加法公式J(x+y)=∑J(x)-(y) 证明:e(-)=SJ(x+y,又 把=一 e)=e-y)-)=∑J,()2∑1()=∑∑(x)1()2 令k=n+l,则 =∑∑J(x)-n(y)2=∑∑J(x)(y) n=-∞k= n=-k= 所以,比较两者得J(x+y)=∑J4(x)J(y k=-∞ (4)积分公式 由em=∑J(x)em得展开系数为 ixsine -ine de -isin b+in 2 cos(x sin@-ne)de=.cos(ne-xsin)de eesd0′2r e -rose+in d e 第二行推导用了奇函数在其周期内的积分为零;第三行是第一行的→+/2 (5)J,(x)的零点方程J,(x)=0的根] (A).J(x)的零点有无限多个,且x≠0的零点都是一级零点x(n=12,3,…)

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 7 cos 1 ( ) 2 0 1 J ( ) J ( ) 2 J ( ) cos( ). i ikz ik x t ie t t m m x k m m m m e e e x t x k i m       =  − = =−  = = = = = +   这里已用到了 J ( ) ( ) J ( ) m m m x x − = − 和 ( ) 2 cos( ). m im m im m i e i e i m    − − + − = （3）加法公式 J ( ) J ( )J ( ). n k n k k x y x y  − =− + =  证明： ( ) 1 2 J ( ) , x y z z n n n e x y z + −  − =− = +  又 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 J J J J . x y x y z z z z z z n l n l n l n l n l n l e e e x z y z x y z + − − −     − − − + =− =− =− =− =  = =     令 k = n+l ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 J J J J . x y z z k n n k n k n k n k n k e x y z x y z + −     − − − =− =− =− =− = =     所以, 比较两者得 J ( ) J ( )J ( ). n k n k k x y x y  − =− + =  （4）积分公式 由 sin J ( ) ix in n n e x e    =− =  得展开系数为 ( ) ( ) ( ) sin sin cos cos 1 1 J ( ) d d 2 2 1 1 cos sin d cos sin d 2 2 = d d . 2 2 ix in ix in n n n ix in ix in x e e e x n n x i i e e                                     − − + − − − − + − + − − = = = − = − − =       第二行推导用了奇函数在其周期内的积分为零；第三行是第一行的    → + / 2. （5） J ( ) x  的零点[方程 J ( ) 0 x  = 的根] (A). J ( ) x  的零点有无限多个，且 x  0 的零点都是一级零点 ( ) ( 1,2,3, ) n x n  = :

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU coS|x一 (x>1) 24 x=0为J(x)(v≠0)的v级零点 J,(x) (v≠0) (B)J(x)的零点必正负成对:这是因为J,(x)具有奇(偶)对称性,即 J(-x)=(-1)J,(x),因此可以只讨论正零点。 (C)阶数相差为1[J,(x)与J(x)或J(x)]时,正零点必两两相间 证明思路:设ab为J,(x)的相邻零点,作辅助函数y=xJ,(x),根据微分中 值定理,当y(a)=y(b)=0时,必有a<c<b,使得y'(c)=0.再由递推公式 (x"Z)=x"Z可以知道,J(x)的零点之间有J,(x)的零点。 D)J(x)的最小正零点必大于J(x)的最小正零点(v≠0,x=0除外) 证明思路:已知x=0为J(x)的n+1级零点。设a为J(x)的最小正零点, 作辅助函数y=xJ(x),由y(0)=y(a)=0,必有y(c)=0,而取c在0<c<a,再由 (x"Z,)=xZ1可知,C必为J,(x)的零点 注1:Jn(x)的零点的具体数值可以从专门的Bese函数表查到,故当需要Jn(x) 的零点时,可以当作已知 注2:记Jn(x)的正零点即Jn(x)=0的根为xm(n=1,2,…) 注3:Jn(x)=0,ie,导数为零的点xm>0(n=1,2,…),均为Jn(x)之一阶零点。 注4:因为J(x)=-J(x,所以=x(n=1,2…),即J(x)的极值点正是J(x) 的零点。 (6)Jn(x)的图像(衰减式震荡函数) Mathematics

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 8 2 J ( ) ~ cos ( 1). 2 4 x x x x         − −   x = 0 为 J ( ) x  （   0 ）的  级零点: 1 J ( ) ~ ( 0) ( 1) 2 x x           +   . (B). J ( ) x  的零点必正负成对：这是因为 J ( ) x  具有奇（偶）对称性，即 J ( ) ( 1) J ( ) x x    − = − ，因此可以只讨论正零点。 (C). 阶数相差为 1 [ J ( ) x  与 1 J ( ) x  − 或 1 J ( ) x  + ]时，正零点必两两相间。 证明思路：设 a b, 为 J ( ) x  的相邻零点，作辅助函数 y x x J ( )  =  ，根据微分中 值定理, 当 y a y b ( ) ( ) 0 = = 时, 必有 a c b   , 使得 y c ( ) 0. = 再由递推公式 1 ( )' x Z x Z     = − 可以知道， J ( ) x  的零点之间有 1 J ( ) x  − 的零点。 (D). 1 J ( ) x  + 的最小正零点必大于 J ( ) x  的最小正零点 ( 0, 0   =x 除外）。 证明思路：已知 x = 0 为 1 J ( ) x  + 的 n+1 级零点。设 a 为 1 J ( ) x  + 的最小正零点， 作辅助函数 1 1 y x x J ( ),   + = + 由 y y a (0) ( ) 0, = = 必有 y c'( ) 0, = 而取 c 在 0 ,  c a 再由 1 ( )' x Z x Z     = − 可知, c 必为 J ( ) x  的零点。 注 1：J ( ) m x 的零点的具体数值可以从专门的 Bessel 函数表查到，故当需要 J ( ) m x 的零点时，可以当作已知. 注 2：记 J ( ) m x 的正零点即 J ( ) 0 m x = 的根为 ( ) ( 1,2, ). m n x n = 注 3：J' ( ) 0 m x = ，i.e，导数为零的点 ( ) 0( 1,2, ) m n x n  = ，均为 J' ( ) m x 之一阶零点。 注 4： 因为 0 1 J' ( ) J ( ), x x = − 所以 (0) (1) = ( 1,2, ), n n x x n = 即 0 J ( ) x 的极值点正是 1 J ( ) x 的零点。 （6） J ( ) m x 的图像（衰减式震荡函数） Mathematics：

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU Jo=Plot[Bessel 0, x],x, 0, 12;J1Plot[BesseLl, x], x, 0, 1231 J2=Plot BesselJ 2, x],x, 0, 12;J3=Plot[BesselJ 3, x ,x, 0, 1291 Show[J0, J1,J2,J31 处 4.本征值问题 (1)方程 柱坐标系下 Laplace方程经变量分离后,它的径向函数满足 P2R"(P)+pR'(P)+(up2-m')R(p)=0, 其标准形式为 R(P)+upR(P=0, 其中m是已知常数(由Φ的本征值问题确定),即m=0.,2,…,参数M≥0待定(对 于另外一类物理问题,u<0,见下节)。此方程是下列Stum- Liouville方程 [4(x)y(x)]-q(x)y(x)+p(x)y(x)=0(a≤x≤b) 的特例,其中k(p)=p.因而对于某些自然条件、边界条件就构成本征值问题了 (2)边界条件 设p的变化区间是0≤p≤b(即物理问题是在半径为a的圆柱体内),上面 的方程如果要构成本征值问题,则需附加如下边界条件之一: 1).k(p)0=0:R2有界 2).k(p)≠0:齐次边界条件:R==0或Rl=0或(aR2+BR)p=0 (3)解方程尸R)+pR(p)+(yp2-m2)Rp)=0

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 9 J0=Plot[BesselJ[0,x],{x,0,12}];J1=Plot[BesselJ[1,x],{x,0,12}]; J2=Plot[BesselJ[2,x],{x,0,12}];J3=Plot[BesselJ[3,x],{x,0,12}]; Show[J0,J1,J2,J3] 4. 本征值问题 （1）方程 柱坐标系下 Laplace 方程经变量分离后，它的径向函数满足 ( ) 2 2 2       R R m R   ( ) ( ) ( ) 0, + + − = 其标准形式为 2 d d ( ) ( ) ( ) 0, d d R m R R           − + =     其中 m 是已知常数（由  的本征值问题确定），即 m = 0,1,2, , 参数   0 待定（对 于另外一类物理问题，   0，见下节）。此方程是下列 Sturm-Liouville 方程   ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 d k x y x q x y x x y x a x b x  − + =    的特例，其中 k( ) .   = 因而对于某些自然条件、边界条件就构成本征值问题了。 （2）边界条件 设  的变化区间是 0    b （即物理问题是在半径为 a 的圆柱体内），上面 的方程如果要构成本征值问题，则需附加如下边界条件之一： 0 1). ( ) 0 : k   = = R =0有界 ； 2). ( ) 0 : b k   =  齐次边界条件： | 0 R =b = 或 ' | 0 R =b = 或 ( ' ) | 0.   R R + = =b （3）解方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2  R  + R  +  −m R  =

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU 设>0,记、D=x,R(p)=y(x),代入上式得: y+xy+ 这是m阶 Bessel方程,其解为: y(x)=CJu(x)+CN(x),或者R(p)=CJn(Ap)+CNn(D) a).R有界:要求C2=0,解为R(p)=CJ(Ap) b)对于第一类齐次边界条件风(==0:R(pm=CJ(mb)=0=→J√mb)=0 Jn(x)的正零点记为xm),则:√b=xm)(m=12,)→H=1m b/即为 本征值,R(p)=R(p)=J(xm2)为本征函数,n为量子数。特别地,当m=0时, J(x2=0)=1,矛盾于本征值方程J(√b)=J(x)=0,所以A= b c)对于第二类齐次边界条件R=0:R(p)=C1如n(mb)=0 →J(mb)=0,J1(x)的正零点记为xm,则 √如b=xm)(n=12…),H=m R(P=R(e)=j(cm py 特别地,当m=0时,x 1b=0也是它的本征值,相应的本征函数为R(p)=1 d)对于第三类齐次边界条件(aR+R)=0,可以进行相似的讨论(思考题) (4)正交性 ∫n(xmB)(x)p=0(m≠n)∈R=0 ∫n(xmJ(e)p=0(m≠n)∈R=0 注意:当m=0时,x=b=0不是J(x2)=1的本征值,而x=√b=0是 (G0)2)=0的本征值,本征函数为J(02)=1 (5)模方

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 10 设   0, 记   = = x R y x , ( ) ( ) ，代入上式得： ( ) 2 2 2 x y xy x m y   + + − = 0. 这是 m 阶 Bessel 方程，其解为： 1 2 ( ) J ( ) N ( ), m m y x C x C x = + 或者 1 2 ( ) J ( ) N ( ). R C C    = + m m 0 a R ). = 有界: 要求 C2 = 0，解为 1 ( ) J ( ). R C   = m b). 对于第一类齐次边界条件 0: b R  = = 1 ( ) J ( ) 0 R C b   =b = = m J ( ) 0 m  = b ， J ( ) m x 的正零点记为 ( ) m n x ，则： ( ) ( 1,2, ) m n b x n = = 2 ( ) ( ) m m n n x b      = =     即为 本征值， ( ) ( ) ( ) J ( ) m R R x n m n b    = = 为本征函数，n 为量子数。特别地，当 m = 0 时， (0) 0 0 J ( 0) 1 x = = ，矛盾于本征值方程 (0) 0 0 0 J ( ) J ( )=0, b x = 所以 2 (0) (0) >0. n n x b    =     c). 对于第二类齐次边界条件 0: b R  =  = 1 ( ) J' ( ) 0 R C b    =b m  = = J' ( ) 0 m  = b ，J' ( ) m x 的正零点记为 ( ) m n x ，则： ( ) ( 1,2, ) m n b x n = = ， 2 ( ) ( ) m m n n x b     = =     ， ( ) ( ) ( ) J ( ). m R R x n m n b    = = 特别地，当 m = 0 时， (0) 0 x b = =  0 也是它的本征值，相应的本征函数为 R( ) 1.  = d). 对于第三类齐次边界条件 ( ) 0 b R R    = + = ，可以进行相似的讨论（思考题）。 （4）正交性 ( ) ( ) 0 J ( )J ( ) d 0 ( ) b m m m n m n x x n n b b      =    0. b R  =  = ( ) ( ) 0 J ( )J ( ) d 0 ( ) b m m m n m n x x n n b b      =    0. b R  =  =  注意：当 m = 0 时， (0) 0 x b = =  0 不是 (0) 0 0 J ( ) 1 x b  = 的本征值, 而 (0) 0 x b = =  0 是 ' (0) 0 0 J ( ) 0 x b  = 的本征值, 本征函数为 (0) 0 0 J ( ) 1. x b  = （5）模方