极限存在准则及两个重要极限（题解）

§1.3极限存在准则及两个重要极限 准则I:(夹逼准则或夹逼定理) 如果数列{xn},{yn}及{n}满足下列条件 NN 0 0 则数列{xn}的极限存在.且 lim x=a 准则I′(1)当x∈{x0<x-x<h(或x>M时) 有g(x)≤f(x)≤h(x)成立 (2)lim g(x)=lin m n(x=a x→>x x→x 则imf(x)存在.且limf(x)=a(x->o) x→>x0 x→

1 §1.3 极限存在准则及两个重要极限 准则Ⅰ: (夹逼准则或夹逼定理) 如果数列 { }n x , { }n y 及 { }n z 满足下列条件 (1) , 0 0 , 1, n n n y x z n N N      (2) y zn a n n n     lim lim 则数列 { }n x 的极限存在. 且 xn a n   lim . 准则 I (1)当 x{x 0  x  x0  h (或 x  M 时) 有 g(x)  f (x)  h(x) 成立. 则 lim ( ) 0 f x xx 存在. 且 f x a x x   lim ( ) 0 (x ) (2) g x h x a x x x x     lim ( ) lim ( ) 0 0

证明略 证明:∴ lim y=lim=n=a n→> g>0.彐N,和N使得 当n>N1时,a-E<yn 当n>N,时 z<a+8 取N=max(N2N12N2) 由条件①即有n>N时 E<nsx<ensata x.-<E limAn s a

2 取 max( , , ) N  N0 N1 N2 由条件 ① 即有 n  N 时 a y x z a n n n         n    x a  lim . n n x a    证明: lim lim n n n n y z a     1    0,N 和 , N2 使得 当 n  N1 时, , a yn    当 n  N2 时 n z a   证明略

例1.3.1求lim 2 n>n2+n+1n2+n+2 ntn+n 解 2 设S +n+1n2+n+2 n+n+n (n+1)1+2+…+n 1+2+…+nn(n+1) <.< 2(n2+2n) n +en n2+n+12(n2+n+1) .li n(n+D)=lim-+n+)2 n(n+1)1 2(n2+2n) lim s

3 例1.3.1 求 2 2 2 1 2 lim n 1 2 n  n n n n n n n                解: 设 2 2 2 1 2 1 2 n n S n n n n n n n           2 2 2 2 ( 1) 1 2 1 2 ( 1) 2( 2 ) 2 1 2( 1) n n n n n n n S n n n n n n n n                   2 2 ( 1) ( 1) 1 lim lim n n 2( 2 ) 2( 1) 2 n n n n   n n n n        1 lim . 2 n n S   

夹逼定理的作用: ①判定一个函数(数列)极限是否存在 ②给出一种求极限的方法:为了求得一个比较困难的函数 (数列)的极限,可寻找两个已知的或易求得的有同一极限的 函数(数列),将其夹在中间,那么这个函数(数列)的极限必 存在,且等于这个公共的极限 利用准则r证明1 7 sinx=1(重要极限I) x→>0x (x→>0+0,x→>0-0)

4 夹逼定理的作用: ①判定一个函数（数列）极限是否存在. ②给出一种求极限的方法: 为了求得一个比较困难的函数 （数列）的极限, 可寻找两个已知的或易求得的有同一极限的 函数（数列）, 将其夹在中间, 那么这个函数（数列）的极限必 存在, 且等于这个公共的极限. 利用准则 I 证明 0 sin lim 1 x x  x  (重要极限Ⅰ) (x 00, x 00)

BAD 在单位圆中, 0△AN 设圆心角∠AOB=x(0<x< △AOB的面积<圆扇形AOB的面积<△AOD的面积 即sinx<x<- tanx sinx<x<tanx同除snx 得1< 或 sInx < COSX< SInx cosx x 由于cOsx与 SIn x 都是偶函数, <x<0时,上式仍成立 而 lim cos x=1所以lim SIn x 1(x→O)时,six~x) x->0

5 △ AOB 的面积< 圆扇形 AOB 的面积< △ AOD 的面积 即 x x tan x 2 1 2 1 sin 2 1   sin tan x x x   同除 sin x x x x cos 1 sin 得 1  或 sin cos 1 x x x   由于 cos x 与 x sin x 都是偶函数, limcos 1 0   x x 而 当 0 2   x   时, 所以 1 sin lim 0   x x x (x 0时，sin x ～ x) 在单位圆中, 设圆心角 ) 2 (0  AOB  x  x  o C A B D x 上式仍成立