《代数结构》 习题解答 第3,6,9次作业 邵新洋
《代数结构》 习题解答 ——第3，6，9次作业 邵新洋
第3次作业 ·作业编号: ·习题240,42 ·习题38,12
第3次作业 • 作业编号： • 习题2 40, 42 • 习题3 8, 12
习题240 题目:求37的12个原根 考察内容:原根/原根的性质 ·解答:査最小原根和指数表,得知37的最小原根 =2。由于Φ(37)=37-1=36,所以37的原根 都在缩系{21,22,…,236≡1}中。 如何找到其他的11个原根?
习题2.40 • 题目：求37的12个原根 • 考察内容：原根/原根的性质 • 解答：查最小原根和指数表，得知37的最小原根 =2。由于Φ 37 = 37 − 1 = 36，所以37的原根 都在缩系{2 1 , 2 2 , ⋯ ,2 36 ≡ 1}中。 • 如何找到其他的11个原根？
习题240 ·{21,22 36 22?错误:(22)18=1 ·23?错误:(23) 3)12≡1 ·24?错误:(24)9≡1 25? 28?错误:(28)9≡1
习题2.40 • 2 1 , 2 2 , ⋯ ,2 36 ≡ 1 • 2 2？错误： 2 2 18 ≡ 1 • 2 3？错误： 2 3 12 ≡ 1 • 2 4？错误： 2 4 9 ≡ 1 • 2 5？ • ⋯ • 2 8？错误： 2 8 9 ≡ 1
习题2.40 偎设2m也是一个原根。则使(2m)≡1的最小 n=36 假设(m,36)=k≠1,则m=k×l,则取n=36 36 即有(2×)k≡236=1 ·所以,m必须和36互素:m∈ {15,7,11,13,17,19,23,25,2931,35} 根据指数的定义:1≡gm有m=indn。举例: 如何求219:19=ind2x,去指数表内查得为35
习题2.40 • 假设2 𝑚也是一个原根。则使 2 𝑚 𝑛 ≡ 1的最小 n=36。 • 假设 𝑚, 36 = 𝑘 ≠ 1，则𝑚 = 𝑘 × 𝑙，则取𝑛 = 36 𝑘 ， 即有 2 𝑘×𝑙 36 𝑘 ≡ 2 36𝑙 ≡ 1。 • 所以，m必须和36互素：𝑚 ∈ {1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35} • 根据指数的定义：𝑛 ≡ 𝑔 𝑚有𝑚 = 𝑖𝑛𝑑𝑔𝑛。举例： 如何求2 19 ：19 = 𝑖𝑛𝑑2𝑥，去指数表内查得为35