第七节 第三章 平面曲线的曲率 曲线的弯与切线的转角有关 曲程度1与曲线的弧长有关 M′ 主要内容: 弧微分 曲率及其计算公式 △a ￥三、曲率圆与曲率半径 0
第七节 曲线的弯 曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径 M M M 平面曲线的曲率 第三章
弧微分 设y=f(x)在(a,b)内有连续导数,其图形为AB 弧长s=AM=S(x) y y=f(x)B M △sMM′MM M∠ △xMM△x MM′√(△x)2+(△y) O MM b x x+△x MM △ 1+ MM MM △x Im ±1 △x->0MM △S s(x=lim △x→>0 △ 0
一、 弧微分 设 y f (x) 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 s AM s(x) x s M M M M x M M M M M M x x y 2 2 ( ) ( ) M M M M 2 1 ( ) x y x s s x x 0 ( ) lim 2 1 ( y ) x A B y f (x) a b x o y x M x x M y lim 1 0 M M M M x
+(y ds=v1+(y2) dx ex ds=(dx)2+(dy) x=x(t 若曲线由参数方程表示 则弧长微分公式为ds +idt 几何意义:dS=MT M/d d cos C SIn d ds ds o xxtdx x 0
则弧长微分公式为 ds x y d t 2 2 s (x) 2 1 ( y ) ds 1 ( y ) dx 2 或 2 2 ds (dx) (dy) x dx dx o x y x M dy T 几何意义: ds MT cos ; d d s x sin d d s y 若曲线由参数方程表示: ( ) ( ) y y t x x t
曲率及其计算公式 在光滑弧上自点M开始取弧段,其长为△s,对应切线 转角为Aa,定义 弧段△s上的平均曲率 K、△a M △s △S 点M处的曲率 in△a d a K △s ds 注意:直线上任意点处的曲率为0 0
二、曲率及其计算公式 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线 , 定义 弧段s上的平均曲率 s K M M s 点 M 处的曲率 s K s 0 lim ds d 注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 转角为
例1求半径为R的圆上任意点处的曲率 解:如图所示, △s=R△a a m a R K=1 △s>0△sR 可见:R愈小,则K愈大,圆弧弯曲得愈厉害 R愈大,则K愈小,圆弧弯曲得愈小 0
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解: 如图所示 , s R s K s 0 lim R 1 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 . s R M M