53n维向量空间的正交化 内 二、标准正文基 施密特正立化方法 曰、正文矩除
返回 5.3 n维向量空间的正交化 一、内积 二、标准正交基 三、施密特正交化方法 四、正交矩阵 返回
内积 1定义:设a=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn) (a, B)=a,b,+a2b2+.+a,b 称为a与B的内积 2.性质: (1)(a,B)=(B,a); (2)(a+B,y)=(a,y)+(B,y) ka,B)=k(a,B) (3)(a,a)≥0,当且仅当a=0时等号成立
返回 ( ) ( ) a a an b b bn 1. : , , , , , , , 定义 设 = 1 2 = 1 2 ( ) = a1b1 + a2b2 ++ anbn , 称为 与 的内积 . 2.性质: (1) (, ) = ( ,); (2) ( + , ) = (, )+ ( , ) (k, ) = k(, ); (3) (,) 0,当且仅当 = 0时等号成立. 一 . 内积
内积还满足以下关系: (a,B)=l(a,B),l∈R; (a,B+y)=(a,B)+(a,y) 3.长度 (1)定义ar 1+2+∴+a (a,a) (2)性质 1°非负性(a|≥0; 20齐次性ka|=kal; B 3三角不等式 a+B≤a+B| a-
返回 3. 长度 (1) (,) 2 2 2 2 定义 = a1 + a ++ an = (2) 性质 1 o 非负性 0； 2 k k ; o 齐次性 = 3 o 三角不等式 + + . + 内积还满足以下关系 ： (, l ) = l(, ), l R; (, + ) = (, )+ (, )
(3)单位向量 a=1:a为单位向量 设a≠0,令a=a,则 a, a 4.夹角 (a, B=arccos :a与B的夹角 aB 问题:(aB <1 aB
返回 (3) 单位向量 = 1: 为单位向量 . 设 ， 令 ,则 1 0 e = ( ) ( , ) 1 . 1 , 2 = = = e e e 4. 夹角 ( ) : . , , arccos 与 的夹角 = ( ) 1 ? ， 问题：
柯西不等式(a,B)≤ap, 当且仅当a与B线性相关时等号成立 证()a,B线性无关:t∈R,ta+B≠0, (a+,ta+B)=t(,a)+2t(a,月)+(B,B)>0, [2(a,B)-4(a,a)B,B)<0, (a,B)< B2,(a, B)<a B (2)a,B线性相关设B=ka,则 (a,B)2=(a,ka)2=k2(a,a)2=(a,a)ka,ka) a|2|B (a,B)=a Bl
返回 柯西不等式 (, ) , 当且仅当 与 线性相关时等号成立. 证 (1)， 线性无关：t R , t + 0 , ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) 0 , 2 t + t + = t + t + 2( , ) 4( , )( , ) 0 , 2 − ( ) 2 , < , 2 2 (, ) < . (2), 线性相关：设 = k ,则 ( ) ( k) k (,) (,)(k, k) 2 2 2 2 ， = ， = = , 2 2 = (, ) =