极限存在准则及两个重要极限（题解）

说明:若=0(x)且lim(x)=0 则:1im sin (x) sin u P(x L→>0

6 说明: 若 u (x) 且 lim(x)  0 则: 1 sin lim ( ) sin ( ) lim 0    u u x x  u 

例:求下列各式极限 Sinx anx (1)lim lim cosx= lim sInx x→>0x x→0xx→0 COS x x>0 2 x→0时,tanx~x (2)lim Sin 2x Sine X x>02x X X 1-cOS x 2Sin (3 )lim 21.Sn =im Im x→>0 2 X →0 2x→0(x X SIn X x→0)时,1-c0sx x→>0 X

7 (2) x x x sin 2 lim 0 (3) 2 0 1 cos lim x x x   x x x 2 2sin 2 lim 0   2 2 2 0 2 2sin lim x x x  2 2 0 2 2 sin lim 2 1         x x x 2 0 2 2 sin lim 2 1               x x x 2 1  例: 求下列各式极限 (1) x x x tan lim 0 x x x x cos sin lim 0  x x x x x sin lim cos 1 lim 0 0   1 x  0时，tan x ～ x x  0时， 1  cos x ～ 2 2 x

单调数列:如果数列{xn}满足条件 x≤x2≤x3s… s onsen+1≤…就称数列{xn}是单调 增加的 如果数列{xn}满足条件x1≥x2≥x3≥…≥xn≥xn+1 就称数列{xn}是单调减少的 单调增加和单调减少的数列统称为单调数列 准则Ⅱ.(单调有界原理)单调有界数列必有极限 M X, x M

8 单调数列: { }n 如果数列 x 满足条件 x1  x2  x3  xn  xn1  就称数列 { }n x 是单调 增加的. 如果数列 { }n x 满足条件 x1  x2  x3  xn  xn1  就称数列 {xn } 是单调减少的. 单调增加和单调减少的数列统称为单调数列.  M M x 1 x 2 x 3 x A 准则Ⅱ. (单调有界原理) 单调有界数列必有极限