+2n y-In x+C=0 对于形如 dy a, x+by+C a2x+b,y 的方程,显然,当c=c2=0时,这是齐次方程。 当 不全为零时,若行列式 a,b, ≠0,作变换 a2 b2 y=y-7 将方程变为 dy a x+by-(a,5+b dx a2x+b,y-(a25+b,n-c2) 从线性代数方程组 hb 27 中解出5,n,就得到了关于x,y的齐次方程 Φa1x+by dr a,x+b,y 若行列式 b =0,则两行对应成比例。若b1,b2全为零,那么原方程为 b 2 ly a,x+Cu dx ax+c 它是可解的。若b,b2不全为零,不妨设b≠0,设λ是常数使得 (a2b2)=λ(a12b)。令=a1x+by,则 x+by+Cu a, +b x+b,y 因此原方程变为变量可分离方程。 综上所述,形式为
2ln y ln x C 0 y x 。 对于形如 2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c dx dy 的方程，显然，当 c1 c2 0 时，这是齐次方程。 当 1 c ， 2 c 不全为零时，若行列式 0 2 2 1 1 a b a b ，作变换 y y x x ~ , ~ 将方程变为 ( ) ~ ~ ( ) ~ ~ ~ ~ 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 a x b y a b c a x b y a b c dx dy ， 从线性代数方程组 2 2 2 1 1 1 , a b c a b c 中解出 , ，就得到了关于 x y ~ , ~ 的齐次方程 a x b y a x b y dx dy ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 2 1 1 。 若行列式 0 2 2 1 1 a b a b ，则两行对应成比例。若 1 2 b , b 全为零，那么原方程为 2 2 1 1 a x c a x c dx dy ， 它是可解的。若 1 2 b , b 不全为零，不妨设 b1 0 ， 设 是常数使得 (a2 , b2 ) ( , ) a1 b1 。令 u a x b y 1 1 ，则 dx dy a b dx du 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 u c u c a b a x b y c a x b y c a b ， 因此原方程变为变量可分离方程。 综上所述，形式为
6,y+Cu dx a,x+b,y 的微分方程总是可解的,并且可以推广到 dy d a,x+b,y dx x+by 的情况 例10.2.6求方程 5y+3)dx-(2x+4y-6dy=0 的通解 解由于行列式 a1b2-5 0 由线性代数方程组 5-57=3, 25+4 解出ξ=n=-1。作变换 5=x+1 ly=y-n=y+l, 得到齐次方程 令y=,得到 u+x 整理后得 4 3dx 1-4ut+2 从此解得 还原变量,便得方程的通解 4y+3y+2x-3)2=
2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c dx dy 的微分方程总是可解的，并且可以推广到 2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c f dx dy 的情况。 例 10.2.6 求方程 (2x 5y 3)dx (2x 4y 6)dy 0 的通解。 解 由于行列式 2 2 1 1 a b a b 0 2 4 2 5 ， 由线性代数方程组 2 4 6 2 5 3, 解出 1 。作变换 1, ~ ~ 1, ~ ~ y y y x x x 得到齐次方程 x y x y dx dy ~4 ~2 ~5 ~2 ~ ~ 。 令 y ux ~ ~ ，得到 u u dx du u x 2 4 2 5 ~ ~ ， 整理后得 x dx du u u ~ ~ 3 2 2 1 4 4 , 从此解得 u u x C 2 ~3 (1 4 )( 2) 。 还原变量，便得方程的通解 x y y x C 2 ( 4 3)( 2 3)