复旦大学：《高等数学》课程课程教学资源（精选教案）定积分的计算

教案 定积分的计算 教学内容 由 Newton- Leibniz公式知道,函数的定积分等于其原函数在积分区间两端取 值之差,因而为求定积分似应先算出相应的不定积分。但定积分计算的目标毕竟 并非原函数而是积分的值,所以计算不定积分时常用的分部积分及变量代换等技 巧在这里可以转变为直接适用于定积分计算的相应运算法则。定积分计算是微积 分中的基本技术,是学生必须掌握的技能。本节主要讲解以下几方面的内容 (1)定积分的分部积分法; (2)定积分的换元积分法 (3)定积分的常用计算技巧; (4)定积分的近似计算(数值积分法) 教学思路和要求 (1)定积分的分部积分法和换元积分法可以从不定积分的相应思想结合 Newton-Leibniz公式得出 (2)定积分的计算有着许多特有的技巧,特别是在处理奇偶函数、周期函数 和满足一定恒等关系的函数的定积分计算时,常有一些简便的方法,需特别指出, 注意引导学生发挥主动意识,举一反三; (3)注意在讲授数值积分时强调背景思想,并指出误差估计。 教学安排 .分部积分法 定理3.3.1设函数u,v在[a,b]上具有连续导数,则 ∫。x(x)dx=oxn(x2-J(xy(x, 或 ∫x(x)=(x)(x2-Jx)dox 只要把 Newton- Leibniz公式和不定积分的分部积分法相结合,便可得上述定 积分的分部积分公式 例3.3.1求由曲线y= xsin x(0≤x≤x)和x轴围成的区域的面积A。 解由定积分的几何意义知 A xsin xdx xd cos x coS d 丌+S1

教 案 定积分的计算 教学内容 由 Newton-Leibniz 公式知道，函数的定积分等于其原函数在积分区间两端取 值之差，因而为求定积分似应先算出相应的不定积分。但定积分计算的目标毕竟 并非原函数而是积分的值，所以计算不定积分时常用的分部积分及变量代换等技 巧在这里可以转变为直接适用于定积分计算的相应运算法则。定积分计算是微积 分中的基本技术，是学生必须掌握的技能。本节主要讲解以下几方面的内容： （1） 定积分的分部积分法； （2） 定积分的换元积分法； （3） 定积分的常用计算技巧； （4） 定积分的近似计算（数值积分法）。 教学思路和要求 （1）定积分的分部积分法和换元积分法可以从不定积分的相应思想结合 Newton-Leibniz 公式得出； （2）定积分的计算有着许多特有的技巧，特别是在处理奇偶函数、周期函数 和满足一定恒等关系的函数的定积分计算时，常有一些简便的方法，需特别指出， 注意引导学生发挥主动意识，举一反三； （3）注意在讲授数值积分时强调背景思想，并指出误差估计。 教学安排 一．分部积分法 定理 3.3.1 设函数 u ，v 在 [a, b] 上具有连续导数，则       b a b a b a u(x)v (x)dx u(x)v(x) v(x)u (x)dx， 或     b a b a b a u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x)。 只要把 Newton-Leibniz 公式和不定积分的分部积分法相结合，便可得上述定 积分的分部积分公式。 例 3.3.1 求由曲线 y  xsin x （ 0  x   ）和 x 轴围成的区域的面积 A 。 解 由定积分的几何意义知，        0 0 A xsin xdx xd cos x       0 0 xcosx cosxdx      0 sinx 

例3.32计算InNn"xdx,其中n为非负整数 解显然 11 而对n≥2,有 dx=sin” xsin xdx =-sin-lxcos2+(n-D2sirxcosxd n)。 由此,可得递推关系 n 结合l0和1的结果,可得n≥2时, 为偶数 n(n-2)…22 (n-1)(n-3)…2 n为奇数 n(n-2)…3 换元积分法 从不定积分的换元法转换到定积分的换元法,要特别注意积分上、下限的对 应关系 定理3.3.2设∫是[a,b上的连续函数,口是定义于a和B间的具有连续导 数的函数,其值域包含于[a,b,且a=(a),b=以(B)。则 ∫r(x)tx=∫/no(o 证因为函数∫连续,故存在原函数,设F'=f,于是 F[(1)=f(D)kp(t) 即F[o(O)是/o(t)lo'()的原函数。由 Newton- Leibniz公式,可得 f(xdx= F(b)-F(a) 和 ∫。几(=()-F1o(a)=F(b)-F(a) 所以上述两个积分相等 例3.3.3求半径为r的圆的面积。 解设圆的中心在原点。由对称性,只须求出它在第一象限部分的面积。圆 周在第一象限部分的方程为

例 3.3.2 计算   2 0 sin  I xdx n n ，其中 n 为非负整数。 解 显然，    2 0 0 0 2 sin   I xdx ，      2 0 2 1 0 sin cos 1   I xdx x 。 而对 n  2 ，有      2 0 2 0 1 sin sin sin   I xdx x xdx n n n        2 0 2 2 2 0 1 sin cos ( 1) sin cos   x x n x n n xdx n x x dx n ( 1) sin (1 sin ) 2 2 0 2       ( 1)( ) n 2 n  n  I  I  。 由此，可得递推关系 2 1   n  n I n n I ， n  2。 结合 0 I 和 1 I 的结果，可得 n  2 时，                , ( 2) 3 ( 1)( 3) 2 , ( 2) 2 2 ( 1)( 3) 1     n n n n n n n n I n  . , 为奇数 为偶数 n n 二．换元积分法 从不定积分的换元法转换到定积分的换元法，要特别注意积分上、下限的对 应关系。 定理 3.3.2 设 f 是 [a,b] 上的连续函数，  是定义于  和  间的具有连续导 数的函数，其值域包含于 [a,b] ，且 a () ，b () 。则     b a f x dx f t t dt   ( ) [( )] ( ) 。 证 因为函数 f 连续，故存在原函数，设 F  f ，于是 F[ (t)] f [ (t)] (t) dt d     ， 即 F[(t)] 是 f[(t)](t) 的原函数。由 Newton-Leibniz 公式，可得    b a f (x)dx F(b) F(a) 和         f[(t)] (t)dt F[()] F[()] F(b) F(a)。 所以上述两个积分相等。 例 3.3.3 求半径为 r 的圆的面积。 解 设圆的中心在原点。由对称性，只须求出它在第一象限部分的面积。圆 周在第一象限部分的方程为

0≤x<r 因此,相应的面积为 d 为计算这个积分,作变量代换x= rsin t,t∈[0,π/2],于是,dx= rcos tdt 变量x对应的积分区间[0,1转换为变量t对应的积分区间[0,x/2],且t=0时, x=0;t=2时 这样 t sin 2t 24 所以,整个圆的面积A=xr2。 例3.3.4计算 解令t=√x-1,于是x=t2+1,dx=2t,且x=1时t=0;x=2时, =1。于是 dx tdt ldt= 2(t-arctann) 1+t 4 例335计算,=5cos”xdx其中n是非负整数。 解作变量代换x=-t,于是 右端积分的值见例3.3.2。 要补充说明的是,如果在计算中使用的是凑微分的不定积分换元法,因为运 算过程往往不另行写出中间变量,从而也毋须引入中间变量的变化区间。这就是 说:如果[f(u)lm=F(u)+c,函数g在ab]上连续可微,则 ∫g(x)g'(x)x=F[g(x)。 例3.3.6计算[2cos5 xsin xdx 解 2co5xs idx=-[2co5xdc os coS 易知上面的运算实际上是通过变换u=cosx把原积分化为-5的积分。如果 在这里把关于x的积分改写关于u的积分,那么必须注意:原来sin5 x cosx关于x 在[0,x/2]上的积分换元后相应的是-3关于u从1到0的积分,即

2 2 y  r  x ， 0  x  r 。 因此，相应的面积为   r r x dx 0 2 2 。 为计算这个积分，作变量代换 x  rsin t ，t [0,  / 2] ，于是， dx  r costdt 。 变量 x 对应的积分区间 [0,1] 转换为变量 t 对应的积分区间 [0,  / 2]，且 t  0 时， x  0 ； 2  t  时 x  r 。这样     r r x dx r tdt 0 2 0 2 2 2 2 cos           2 0 2 4 sin 2 2  t t r 2 4 1  r 。 所以，整个圆的面积 2 A   r 。 例 3.3.4 计算  2  1 1 dx x x 。 解 令 t  x 1 ，于是 1 2 x  t  ， dx  2tdt ，且 x  1 时 t  0 ； x  2 时， t  1 。于是      2  1 1 0 2 2 1 1 tdt t t dx x x            1 0 2 1 1 2 1 dt t 1 0 2(t  arctant)         4 2 1  。 例 3.3.5 计算   2 0 cos ,  I xdx n n 其中 n 是非负整数。 解 作变量代换 x   t 2  ，于是   2 0 sin  I tdt n n 。 右端积分的值见例 3.3.2。 要补充说明的是，如果在计算中使用的是凑微分的不定积分换元法，因为运 算过程往往不另行写出中间变量，从而也毋须引入中间变量的变化区间。这就是 说：如果  f (u)du  F(u)  c ，函数 g 在 [a, b] 上连续可微，则 b a b a f[g(x)]g (x)dx  F[g(x)]  。 例 3.3.6 计算  2 0 5 cos sin  x xdx。 解     2 0 2 0 5 5 cos sin cos cos   x xdx xd x 6 1 cos 6 1 2 0 6     x 。 易知上面的运算实际上是通过变换 u  cos x 把原积分化为 5 u 的积分。如果 在这里把关于 x 的积分改写关于 u 的积分，那么必须注意：原来 sin x cos x 5 关于 x 在 [0,  / 2] 上的积分换元后相应的是 5 u 关于 u 从 1 到 0 的积分，即

cos'xsin xdx==. uda 例337计算~1 dx 解一作变量代换x=set,则ax= sect tanto,且当x=-2时,t=2r;当 √2时 于是 -21 这个积分也可以用凑微分的方法计算。 解二 arcsin x√x 例3.3.8计算∫。"-ed 解作变量代换u=√-e-,即x=-1m1-n2),则=4-dh,且当 1 0时,u=0;当x=h2时, 于是 - -du= hn(2+√3) 下面例3.3.9和例3.3.11的几何意义是明显的,它们往往可以用来简化积 分的计算。 例3.3.9设a>0,∫是[-a,a上的连续函数,则 (1)当∫是奇函数时, f(xdx=0 (2)当∫是偶函数时 f(x) 证设∫是奇函数,即f(-x)=-f(x),x∈[-a,a。于是 ∫f(xk=」f(x)tx+∫ 对上式右端第一个积分作换元x=-1,则有 f(x)dx= f(dr=-f()du

     0 1 5 2 0 5 6 1 cos xsin xdx u du  。 例 3.3.7 计算     2 2 2 1 1 dx x x 。 解一 作变量代换 x  sect ，则 dx  sect tantdt ，且当 x  2 时，  3 2 t  ；当 x   2 时，  4 3 t  ，于是 sec ( tan ) 12 sec tan 1 1 4 3 3 2 4 3 3 2 2 2 2                  dt dt t t t t dx x x 。 这个积分也可以用凑微分的方法计算。 解二 12 1 arcsin 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2                           x x x d dx x x 。 例 3.3.8 计算    ln2 0 2 1 e dx x 。 解 作变量代换 x u e 2 1    ，即 ln(1 ) 2 1 2 x    u ，则 du u u dx 2 1  ，且当 x  0 时， u  0 ；当 x  ln 2 时， 2 3 u  ，于是 du u du u u e dx u x                  2 3 0 2 2 3 0 2 l n2 0 2 1 1 1 1 1 2 3 ln(2 3) 1 1 ln 2 1 2 3 0                u u u 。 下面例 3.3.9 和例 3.3.11 的几何意义是明显的，它们往往可以用来简化积 分的计算。 例 3.3.9 设 a  0 ， f 是 [a, a] 上的连续函数，则 （1）当 f 是奇函数时， ( )  0  a a f x dx ； （2）当 f 是偶函数时     a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( ) 。 证 设 f 是奇函数，即 f (x)   f (x)， x[a, a] 。于是   a a f (x)dx   0 ( ) a f x dx  a f x dx 0 ( ) 。 对上式右端第一个积分作换元 x  t ，则有          a a a f x dx f t dt f t dt 0 0 0 ( ) ( )( ) ( )

所以∫“f(x)x=0。类似地可以讨论偶函数的情况。 证毕 例3310计算[simx(x2cos62x+2snx)hx。 解由于x2cos2xsnx是奇函数,sin2x是偶函数,因此 2 2xsin xdx=0, 2 sin'xdx=22sin2'xdx 于是 sin x(x 2xsin 2x+2sin x)dx=42sin-xdx 212(1-cos 2x)dx=2 x--sin 2x=T 例3.39的结论实际上蕴含于以下更一般的结论中:对于[-a,上任何连续 函数f,总有 利用这个关系式,有时也可简化积分计算。 例3.311计算 d -T1+sinx 解 -1+sin x I+sin x 1+sin(-x) dx=2 tan.x4=2. 例3.3.12设∫是以T为周期的连续函数,证明:对任何实数a,成立着 f(x)dx=」。f(x)ldx 证显然 ∫。(x)dx=」J,(x)t+∫nf(x)d。 对最后一个积分作换元x=1+T,得 ∫f(x)x=J(+m)=) 因此 f(x)dx= f(x)dx+ f(odt f(x)dx+f(x)x=」。f(x)db 证毕 例33.13计算Ⅰ= 11+x 解先计算不定积分。当x>0或x<0时,有

所以 ( )  0  a a f x dx 。类似地可以讨论偶函数的情况。 证毕 例 3.3.10 计算   2 2 2 6 sin ( cos 2 2sin )   x x x x dx。 解 由于 x cos 2xsin x 2 6 是奇函数， x 2 sin 是偶函数，因此 cos 2 sin 0 2 2 2 6     x x xdx ，     2 0 2 2 2 2 sin 2 sin    xdx xdx。 于是 sin 2 . 2 1 2 (1 cos 2 ) 2 sin ( cos 2 sin 2 2sin ) 4 sin 2 0 2 0 2 0 2 2 2 2 6 2                        x d x x x x x x x x d x xdx 例 3.3.9 的结论实际上蕴含于以下更一般的结论中：对于 [a, a] 上任何连续 函数 f ，总有       a a a f x dx f x f x dx 0 ( ) [ ( ) ( )] 。 利用这个关系式，有时也可简化积分计算。 例 3.3.11 计算   4 4 1 sin 1   dx x 。 解                4 0 4 4 1 sin( ) 1 1 sin 1 1 sin 1    dx x x dx x 2tan 2 1 sin 1 2 4 0 4 2 0        dx x x 。 例 3.3.12 设 f 是以 T 为周期的连续函数，证明：对任何实数 a ，成立着    aT T a f x dx f x dx 0 ( ) ( ) 。 证 显然        a T T T a a T a f (x)dx f (x)dx f (x)dx。 对最后一个积分作换元 x  t  T ，得       aT a a T f x dx f t T dt f t dt 0 0 ( ) ( ) ( ) 。 因此       T a a a T a f x dx f x dx f t dt 0 ( ) ( ) ( )      T a a f x dx f x dx 0 ( ) ( )  T f x dx 0 ( ) 。 证毕 例 3.3.13 计算     1 1 4 2 1 1 dx x x I 。 解 先计算不定积分。当 x  0 或 x  0 时，有