复旦大学：《高等数学》课程精选教案_定积分的几何应用

教案 定积分的几何应用 教学内容 与曲边形的面积、变速直线运动的路程一样,自然科学、社会科学和生产实 践中出的一大类量都是累积效应的结果,它们可以用 Riemann和式的极限来刻 画,即用定积分来度量。本节讲解定积分的几何应用,主要是以下几方面的内容: (1)微元法; (2)平面图形的面积 (3)已知平行截面面积的立体体积和旋转体的体积 (4)曲线的弧长及其曲率 (5)旋转曲面的面积。 教学思路和要求 微元法是由局部性态的讨论最后合成整体的累积效应、即定积分的方法, 要详细讲透其思想,使学生在今后能够举一反三地使用 (2)在用推导公式时,注意说明选取微元的着眼点与理由,并注意说明整体 微元如何导出,使学生学会灵活运用微元法; (3)注意几何背景的说明,并结合实际例子说明一些图形的特点与画法,以 及积分区间的选取 (4)注意指出对于复杂的几何图形,在计算时要具体问题具体分析,可能要 分几部分来讨论,不能直接套用公式。最好举例说明处理方法。 教学安排 .微元法 为说明具有哪些特征的量有望用定积分刻画我们再度分析一下=C( 的概念。 首先,对固定的函数f,/取决于积分区间。定积分具有一个十分重要的性 质:可加性,即[a,b]被分为许多部分小区间,则I被相应地分成许多部分量Ml, 总量Ⅰ等于诸部分量之和,即I=>M,。凡能用定积分描述的量都应具有这种 可加性的特征。 其次,由于可加性,问题便化为部分量M的计算。对连续函数∫,记 (x)=J(h,则有r(x)=f(x),所以 △=I(x+△x)-1(x)=f(x)dx+o(dx)。 由此可见,对于能用定积分刻画的量,其在区间微元[x,x+ax]上的部分量应能 近似地表现为dx的线性函数,即M≈f(x)kx,而且其误差应是比dx高阶的无穷 小 上面的dx是自变量的微分,在应用中常被称作x的微元。它是一个变量

教 案 定积分的几何应用 教学内容 与曲边形的面积、变速直线运动的路程一样，自然科学、社会科学和生产实 践中出的一大类量都是累积效应的结果，它们可以用 Riemann 和式的极限来刻 画，即用定积分来度量。本节讲解定积分的几何应用，主要是以下几方面的内容： （1） 微元法； （2） 平面图形的面积； （3） 已知平行截面面积的立体体积和旋转体的体积； （4） 曲线的弧长及其曲率； （5） 旋转曲面的面积。 教学思路和要求 （1）微元法是由局部性态的讨论最后合成整体的累积效应、即定积分的方法， 要详细讲透其思想，使学生在今后能够举一反三地使用； （2）在用推导公式时，注意说明选取微元的着眼点与理由，并注意说明整体 微元如何导出，使学生学会灵活运用微元法； （3）注意几何背景的说明，并结合实际例子说明一些图形的特点与画法，以 及积分区间的选取； （4）注意指出对于复杂的几何图形，在计算时要具体问题具体分析，可能要 分几部分来讨论，不能直接套用公式。最好举例说明处理方法。 教学安排 一．微元法 为说明具有哪些特征的量有望用定积分刻画，我们再度分析一下   b a I f (t)dt 的概念。 首先，对固定的函数 f ， I 取决于积分区间。定积分具有一个十分重要的性 质：可加性，即 [a,b] 被分为许多部分小区间，则 I 被相应地分成许多部分量 i I ， 总量 I 等于诸部分量之和，即   i I I 。凡能用定积分描述的量都应具有这种 可加性的特征。 其次，由于可加性，问题便化为部分量 I 的计算。对连续函数 f ，记   x a I(x) f (t)dt ，则有 I(x)  f (x) ，所以 I  I(x  x)  I(x)  f (x)dx  o(dx)。 由此可见，对于能用定积分刻画的量，其在区间微元 [x, x  dx] 上的部分量应能 近似地表现为 dx 的线性函数，即 I  f (x)dx ，而且其误差应是比 dx 高阶的无穷 小。 上面的 dx 是自变量的微分，在应用中常被称作 x 的微元。它是一个变量。一

方面,在变化过程的每一时刻,即相对静止时,它是一个有限量:另一方面,其 变化趋势则以0为极限,即是一个无穷小量。记微分形式f(x)dx为d,在应用 中常被称作量I(x)的微元。总量/即是微元d=f(x)dx的积分。 我们宁愿把f(x)dx称作微元,而不直接称为的微分,原因在于实际应用时, 往往和上述由积分导出微元d的过程相反,微元法是由微元f(x)dx出发导出 积分,即由局部性态的讨论最后合成整体的累积效应。 如果我们要处理某个量,它与变量x的变化区间[a,b有关,而且 (1)满足关于区间的可加性,即整体等于局部之和 (2)它在[x,x+x]上的部分量M近似于dx的一个线性函数,即 M-dI=o(dx),其中d=f(x)dkx称之为量的微元 那么,以微元d=f(x)dkx为被积表达式,作积分即得 I=」f(x)dr。 诸如弧长、面积、体积、引力、压力、功等几何量和物理量都具有某种可加 性,且其小增量均可用微元近似表示,从而它们都可用定积分计算。 在应用问题中往往略去关于M-d=o(dx)的验证 二.面积问题(直角坐标下的区域) 考察由曲线y=f(x),y=g(x)和直线x=a,x=b(a<b)所围平面图形 的面积。 先设f≥g,变量x的变化区间为[a,b]。显然,面积具有关于区间的可加性。 在区间微元[x,x+a]上,相应的小曲边形(图3.4.1中阴影部分)面积△A近似 等于高为f(x)-g(x),宽为dx的矩形面积,即 △4≈[f(x)-g(x)dx, 所以,面积微元为 dA=f(x)-g(x)ldx 于是,所求的面积 A= [(x)-g(x)]dx 如果删去条件∫≥g,同样可得 xx+dx b da=f(x)-g(x) dx 图 3.4.1 从而 A=[1/(x)-g(x)ldx 例34.1求由抛物线y=x2及直线y=3x所围图形的面积(图342)。 解先求出两曲线交点为(0,0)和(3,9)。如果以x为积分变量,取积分区间 为[0,3],有 A=(3 如果以y为积分变量,则应取积分区间为[0,9],此时 y 图342

方面，在变化过程的每一时刻，即相对静止时，它是一个有限量；另一方面，其 变化趋势则以 0 为极限，即是一个无穷小量。记微分形式 f (x)dx 为 dI ，在应用 中常被称作量 I(x) 的微元。总量 I 即是微元 dI  f (x)dx 的积分。 我们宁愿把 f (x)dx 称作微元，而不直接称为 I 的微分，原因在于实际应用时， 往往和上述由积分 I 导出微元 dI 的过程相反，微元法是由微元 f (x)dx 出发导出 积分，即由局部性态的讨论最后合成整体的累积效应。 如果我们要处理某个量 I ，它与变量 x 的变化区间 [a, b] 有关，而且 （1） 满足关于区间的可加性，即整体等于局部之和； （ 2 ） 它 在 [x, x  dx] 上 的 部 分 量 I 近 似 于 dx 的 一 个 线 性 函 数 ， 即 I  dI  o(dx) ，其中 dI  f (x)dx 称之为量 I 的微元。 那么，以微元 dI  f (x)dx 为被积表达式，作积分即得   b a I f (x)dx 。 诸如弧长、面积、体积、引力、压力、功等几何量和物理量都具有某种可加 性，且其小增量均可用微元近似表示，从而它们都可用定积分计算。 在应用问题中往往略去关于 I  dI  o(dx) 的验证。 二．面积问题（直角坐标下的区域） 考察由曲线 y  f (x)， y  g(x) 和直线 x  a， x  b （ a  b ）所围平面图形 的面积。 先设 f  g ，变量 x 的变化区间为 [a, b] 。显然，面积具有关于区间的可加性。 在区间微元 [x, x  dx] 上，相应的小曲边形（图 3.4.1 中阴影部分）面积 A 近似 等于高为 f (x)  g(x) ，宽为 dx 的矩形面积，即 A  [ f (x)  g(x)]dx， 所以，面积微元为 dA [ f (x)  g(x)]dx。 于是，所求的面积    b a A [ f (x) g(x)]dx。 如果删去条件 f  g ，同样可得 dA| f (x)  g(x)| dx， 从而    b a A | f (x) g(x) | dx。 例 3.4.1 求由抛物线 2 y  x 及直线 y  3x 所围图形的面积（图 3.4.2）。 解 先求出两曲线交点为 (0, 0) 和 (3, 9) 。如果以 x 为积分变量，取积分区间 为 [0, 3] ，有     3 0 2 A (3x x )dx 2 9 3 1 2 3 3 0 2 3        x  x 。 如果以 y 为积分变量，则应取积分区间为 [0, 9] ，此时          9 0 3 dy y A y x y O (3, 9) 图 3.4.2 2 y  x y  3x

9 3 三.面积问题(极坐标下的区域) 考察介于曲线r=r(0)与射线O=a和θ=B(0≤a<B≤2z)间的曲边扇 形的面积,其中r()是连续函数(图343)。 r= r(8 以O为积分变量,在区间微元[,+d0上 对应的小曲边扇形的面积近似于圆扇形的面积, 即△4≈[r(0)d0,所以面积微元 dA=-[r(O)2d0, 于是 图3 A=fIr(e)de 例3.4.2计算心脏线r=a(+cos)(-x≤b≤x)所围区域的面积(图 3.4.4)。 解由图形的对称性,只要计算该图形的上半部分的面积,其两倍便是所求 图形的面积。由面积计算公式得 A=2·a2(1+cos)d cos 3·1丌 图344 四.已知平行截面面积求体积 设空间立体9介于过x=a和x=b点且垂直于x 面积A(x) 轴的两平面之间,已知它被过x点且垂直于x轴的平 面所截出的图形的面积为A(x)(图345)。显然,在 区间微元[x,x+dx]上,Ω的体积微元为一母线与x 轴平行、高为dx,底面积为A(x)的柱体体积,即 a x xtdx b dv A(x)dx, 所以 图34.5 ∫ 例3.4.3已知一直圆柱体的底面半径为R 斜面丌1过其底面圆周上一点,且与底面r2成夹角O, 求圆柱被兀1,x2所截得部分的体积。 解取圆柱底面圆周中心为原点,底面z2为xy 平面,z1与圆周交点在y轴上(图346)。这样,对一 图346

2 9 3 3 2 2 9 0 2 2 3             y y 。 三．面积问题（极坐标下的区域） 考察介于曲线 r  r() 与射线    和    （ 0     2 ）间的曲边扇 形的面积，其中 r( ) 是连续函数（图 3.4.3）。 以  为积分变量，在区间微元 [,  d] 上 对应的小曲边扇形的面积近似于圆扇形的面积， 即 A r  d 2 [ ( )] 2 1   ，所以面积微元 dA r  d 2 [ ( )] 2 1  ， 于是     A r  d 2 [ ( )] 2 1 。 例 3.4.2 计算心脏线 r  a(1 cos) （      ）所围区域的面积（图 3.4.4）。 解 由图形的对称性，只要计算该图形的上半部分的面积，其两倍便是所求 图形的面积。由面积计算公式得        0 2 2 (1 cos ) 2 1 A 2 a d      0 2 4 2 4a cos d   2 0 2 4 8 cos  a d 2 2 2 3 4 2 2 3 1 8a a        。 四．已知平行截面面积求体积 设空间立体  介于过 x  a 和 x  b 点且垂直于 x 轴的两平面之间，已知它被过 x 点且垂直于 x 轴的平 面所截出的图形的面积为 A(x) （图 3.4.5）。显然，在 区间微元 [x, x  dx] 上，  的体积微元为一母线与 x 轴平行、高为 dx ，底面积为 A(x) 的柱体体积，即 dV  A(x)dx， 所以   b a V A(x)dx。 例 3.4.3 已知一直圆柱体的底面半径为 R，一 斜面  1 过其底面圆周上一点，且与底面  2 成夹角  ， 求圆柱被  1， 2 所截得部分的体积。 解 取圆柱底面圆周中心为原点，底面  2 为 xy 平面，  1 与圆周交点在 y 轴上（图 3.4.6）。这样，对 x b x a x+dx 图 3.4.5 面积 A(x)

y∈[-RR],过(0,y,0)且与y轴重直的平面与圆柱被截部分的截面是一个矩形, 它的底为2√R2-y2,高为(y+R)nO。因此 A(y)=2√R2-y2(y+Rt 所求体积为 =2anyR2-y2d+R」 括号中第一项是一个奇函数在对称区间上的积分,其值为0:第二项的积分 恰为半径为R的上半个圆的面积,因此 I=R3tanO。 读者不难发现,如用与x轴垂直的平面与之相截,截面是直角梯形,用与z轴 垂直的平面与之相截,截面则是弓形,处理都会繁复一些。因而应对不同问题作 具体分析,寻求事半功倍的最佳方案。 五.旋转体的体积 由已知平行截面面积计算体积的公式有一个直接的推论,这就是求旋转体体 积的公式。 设空间立体Ω为由平面图形 {(x,y)0≤y≤f(x),a≤x≤b} 绕x轴旋转一周而成的旋转体(图347)。如用在点(x,0)处与x轴垂直的平面截 此立体,所得截面显然是一个半径为f(x)的圆,即截面积为 A(x)=[f(x)] 因此 丁(x)a y=f(r) 图34.7 例3.44求椭圆x+y=1所围图形绕x轴旋转一周所得椭球的体积 解由于y 利用对称性可得

y [R,R] ，过 (0, y, 0) 且与 y 轴重直的平面与圆柱被截部分的截面是一个矩形， 它的底为 2 2 2 R  y ，高为 (y  R)tan 。因此 ( ) 2 ( )tan 2 2 A y  R  y y  R 所求体积为             R R R R V y R y dy R R y dy 2 2 2 2 2 tan 。 括号中第一项是一个奇函数在对称区间上的积分，其值为 0；第二项的积分 恰为半径为 R 的上半个圆的面积，因此  tan 3 V  R 。 读者不难发现，如用与 x 轴垂直的平面与之相截,截面是直角梯形，用与 z 轴 垂直的平面与之相截，截面则是弓形，处理都会繁复一些。因而应对不同问题作 具体分析，寻求事半功倍的最佳方案。 五．旋转体的体积 由已知平行截面面积计算体积的公式有一个直接的推论，这就是求旋转体体 积的公式。 设空间立体  为由平面图形 {(x, y)| 0  y  f (x), a  x  b} 绕 x 轴旋转一周而成的旋转体（图 3.4.7）。如用在点 (x, 0) 处与 x 轴垂直的平面截 此立体，所得截面显然是一个半径为 f (x) 的圆，即截面积为 2 A(x)  [ f (x)] 。 因此   b a V f x dx 2  [ ( )] 。 例 3.4.4 求椭圆 1 2 2 2 2   b y a x 所围图形绕 x 轴旋转一周所得椭球的体积。 解 由于 2 2 a x a b y   ，利用对称性可得

x Tab 当a=b时,就得到以a为半径的球体积为-mn3。 曲线的弧长 设有曲线L的方程为y=f(x)(a≤x≤b),其中∫具有连续导数。今欲求其 弧长s(图3.4.8) 用微元法。设区间微元[x,x+x]对应于小y 弧段PO,该弧段之长△s可用它在P处切线段 PT的长度来近似,即 △s≈ds=y(dx)2+(dy) 1+f(x)2d 于是曲线L的弧长为 s=√1+[f(x)dx 图3.4.8 当弧L用参数方程 X=x t≤B y(1) 表示时,dx=x'(t)dt,dy=y()dt。从而 (d x)+(dy)=Ir(oP+[y(oP dr 进而 s=」xo+Do)h。 当曲线L用极坐标方程 r=r(),a≤6≤B 表示时,由于 r(e)cos 8 In 便得ax=(r'cos-rsnO)d0,dy=(r'sinO+ rose)d0,从而 0)2+(d)2=√2 进而 例3.4.5求曲线段y (1≤x≤3)的弧长 解由ds (y)2dx=√1+xdx得

     a a a x dx a b V y dx 0 2 2 2 2 0 2 2 2 ( ) 2 0 3 2 2 2 3 4 3 2 ab x a x a b a              。 当 a  b 时，就得到以 a 为半径的球体积为 3 3 4 a 。 六．曲线的弧长 设有曲线 L 的方程为 y  f (x) （ a  x  b ），其中 f 具有连续导数。今欲求其 弧长 s （图 3.4.8）。 用微元法。设区间微元 [x, x  dx] 对应于小 弧段 PQ ，该弧段之长 s 可用它在 P 处切线段 PT 的长度来近似，即 2 2 s  ds  (dx)  (dy) f x dx 2  1[ ( )] 。 于是曲线 L 的弧长为 s f x dx b a    2 1 [ ( )] 。 当弧 L 用参数方程      ( ), ( ), y y t x x t   t   表示时， dx  x (t)dt ，dy  y (t)dt 。从而 ds dx dy x t y t dt 2 2 2 2  ( )   [ ( )] [ ( )] ， 进而 s x t y t dt a      2 2 [ ( )] [ ( )] 。 当曲线 L 用极坐标方程 r  r() ，     表示时，由于      ( )sin , ( ) cos ,     y r x r 便得 dx  (r cos  rsin)d ，dy  (r sin  r cos)d ，从而 ds dx dy r r d 2 2 2 2  ( )  ( )    ， 进而       s r r d 2 2 。 例 3.4.5 求曲线段 2 3 3 2 y  x （ 1  x  3 ）的弧长。 解 由 ds  1 ( y ) dx  1 xdx 2 得 图 3.4.8