北方工业大学：《线性代数》PPT教学课件 线性方程组解的结构

现对x+……,x取下列n-r组数: r+1 0 0 r+2 01 0 n b 11-r+1 b I.n-rn 分别代入 1~r+1 b r.h-r

现对 x r+1 ,  , x n 取下列 n− r 组数：               + + n r r x x x  2 1      = − − − = − − − + − + − r r r r,n r n r ,n r n x b x b x x b x b x    1 1 1 1 1 1 1 分别代入 , .               1 0 0  ,               0 1 0  ,               = 0 0 1  

1 12 b, n-I 依次得 : b n-1 从而求得原方程组的n-r个解: 1 b12 1,n-r 52=0 5n=0 0 0 0

依次得           xr x  1 , b b r                       − − = 0 0 1 1 11 1    , 0 1 0 2 12 2                       − − =   br b  . b b r,n r ,n r n r                       − − = − − − 1 0 0 1    从而求得原方程组的 n− r 个解： . b b , r,n r ,n r           − − − −  1 , b b r           − − 2 12 ,  b b r           − − = 1 11   

下面证明51,92,…,5nr是齐次线性方程组解空 间的一个基 (1)证明51,52,…5n,线性无关 0|1 0 由于n-r个n-r维向量 线性无关, 所以n-r个n维向量51,52…,5n亦线性无关

下面证明 是齐次线性方程组解空 间的一个基． n r , , ,  1  2   −                                           1 0 0 , , 0 1 0 , 0 0 1     由于 n − r 个 n − r 维向量 线性无关， 所以 n − r 个 n 维向量 n r 亦线性无关. , , ,  1  2   − (1) , , , . 证明 1  2   n−r 线性无关

(2)证明解空间的任一解都可由1 1952995n-r 线性表示 设x=5=(1… r+1 )为上述 方程组的一个解.再作51,2,…,n,的线性组合, 7=+51+x+252+…+1 non-I 由于51,52…,5是4x=0的解,故?也是4x=0的 解 下面来证明5=m

. (2) , , , 1 2 线性表示 证明解空间的任一解都可 由     n−r ( ) .1 1 方程组的一个解 设 为上述 T x =  =   r r+   n , , , , 再作 1  2   n−r 的线性组合  = r+1 1 + r+2 2 ++  n n−r 由于 是 的解 故 也是 的 解 . n r , , ,  1  2   − Ax = 0 ,  Ax = 0 下面来证明 = 

7=-+51+x+252+…+An9n b 12 1,n-r 2 b rn-I 元1|+ +2 0 +∴ 0 r+1 0 r+2 0 0 由于ξ与m都是方程4x=0的解而Ax=0又等价于 M

                      − − = + 0 0 1 1 11 1   r r b b                        − − + + 0 1 0 2 12 2   r r b b                        − − + + − − 1 0 0 1    r,n r ,n r n b b   = r+1 1 + r+2 2 ++  n n−r                       = + + n r r r c c      2 1 1 由于与都是方程Ax = 0的解,而Ax = 0又等价于