数学物理方法 习题
Wu Chong-shi
第一部分 复变函数
Wu Chong-shi
第二章 第一章复数和复变函数 1.写出下列复数的实部、虚部、模和辐角: (1)1+i3 (2)esin,x为实数; (3) (4)e2; (5)e),(x)是实变数x的实函数;(6)1-cosa+isin,0≤a<2 2.把下列关系用几何图形表示出来: (1)|<2 (2)|z=2 (3)|z|>2 (4)> 1-2 (5)1<mz<2 (6)0<arg(1-z)< (7)-a|=|-b,a,b为常数; (8)z-a|+|z-b=c,a,b,c均为常数,c>|a-b 3.求下列序列{zn}的聚点和极限,如果是实数序列,则同时求出上极限和下极限: (1)zn=(-)n1 (2)zn=(-)1 2n+1 (3)zn=n+(-)n(2n+1)i (4)2n=(2n+1)+(-)ni n (5)2n=(1+sin (6)=(1+cos 第二章解析函数 1.判断下列函数在何处可导(并求出其导数)、在何处解析: (1)|z|; (2)z* (3)zm,m=0,1,2,… (4) Re; (5)(x2+2y)+i(x2+y2) (6)(x-y)2+2i(x+y) 2.证明平面极坐标系(r,)下的 Cauchy-Riemann-方程 ou _1dv __ ar r ae r u(r,和v(r,分别为复变函数的实部和虚部 3.利用平面极坐标系(r,)下的 Cauchy-Riemann-方程证明: (+)) 4.设z=x+iy,已知解析函数f()=u(x,y)+i(y)的实部u(y如下试求出解 析函数f(z):
Wu Chong-shi 2 ✁ ✂ ✄☎✆ ✝✞✟✝✠✡✞ 1. ☛☞✌✍✎✏✑✒✓✔✕✓✔✖✗✘✙✚ (1) 1 + i√ 3; (2) ei sin x , x✛✒✏; (3) eiz ; (4) ez ; (5) eiφ(x) , φ(x) ✜✒✢✏ x✑✒✣✏; (6) 1 − cos α + i sin α, 0 ≤ α < 2π. 2. ✤✌✍✥✦✧★✩✪✫✬✭☞✮✚ (1) |z| < 2; (2) |z| = 2; (3) |z| > 2; (4) Re z > 1 2 ; (5) 1 < Im z < 2; (6) 0 < arg(1 − z) < π 4 ; (7) |z − a| = |z − b| , a, b ✛✯✏; (8) |z − a| + |z − b| = c, a, b, c ✰✛✯✏, c > |a − b| . 3. ✱✌✍✲✍ {zn} ✑✳✴✗✵✶✷✸✹✜✒✏✲✍✷✺✻✼✱☞✽✵✶✗✌✵✶✚ (1) zn = (−) n n 2n + 1 ; (2) zn = (−) n 1 2n + 1 ; (3) zn = n + (−) n(2n + 1)i; (4) zn = (2n + 1) + (−) nni; (5) zn = 1 + i n sin nπ 6 ; (6) zn = 1 + 1 2n cos nπ 3 . ✄✾✆ ✿❀✡✞ 1. ❁❂✌✍✣✏❃✩❄❅❆ (❇✱☞❈❆✏) ✔❃✩❄❉❊✚ (1) |z| ; (2) z ∗ ; (3) z m, m = 0, 1, 2, · · · ; (4) z Re z; (5) x 2 + 2y + i x 2 + y 2 ; (6) (x − y) 2 + 2i(x + y). 2. ❋●❍■✵❏❑✦ (r, θ) ✌✑ Cauchy–Riemann ▲▼✚ ∂u ∂r = 1 r ∂v ∂θ , ∂v ∂r = − 1 r ∂u ∂θ , u(r, θ) ✗ v(r, θ) ◆❖✛✎✢✣✏✑✒✓✗✕✓P 3. ◗✧❍■✵❏❑✦ (r, θ) ✌✑ Cauchy–Riemann ▲▼❋●✚ f 0 (z) = r z ∂u ∂r + i ∂v ∂r = 1 z ∂v ∂θ − i ∂u ∂θ . 4. ❘ z = x + iy ✷❙❚ ❉❊✣✏ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ✑✒✓ u(x, y) ✸✌✷❯✱☞❉ ❊✣✏ f(z) ✚
(4)cos r cosh y 5.设z=x+iy,已知解析函数f(x)=u(x,y)+iv(x,y)的实部或虚部如下,试求f(z) (1)u=x+y; (2)u=sin a cosy 6.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析,且 u-=(x-y)(x2+4xy+y2), 试求f(z) 7.解下列方程: (2)cos 2=4 (3)sin2z-osin z-1=0 (4)tan a (5)sinh z=0; (6)2cosh2z-3coshz+1=0 8.判断下列函数是单值的还是多值的: (1)vz2-1 (2)z+z-1 (10)sin(iIn z) 9.找出下列多值函数的枝点,并讨论z绕一个枝点移动一周回到原处后函数值的变化 如果同时绕两个、三个、乃至更多个枝点一周,函数值又如何变化? (1)√(2-a)(z-b),a≠b (y2-6,≠b (3)(2-a(2-b),a≠b; (4)(2-a)2; (6)Ⅵ1-z (7)ln(z2+1); 10.求下列函数在指定点的全部可能取值: (1)lnz,z=1,i,-1,1+i; (2)z2,z=2,i,-1,(1+i 11.规定函数v=z2-2在图21中割线上岸的 辐角为0,试求该函数在割线下岸z=3处的数值 又问:这个函数有几个单值分枝?求出在其它分枝 中割线下岸z=3处的函数值 图2.1
Wu Chong-shi ❱ ❲ 3 (1) x 2 − y 2 + x; (2) x x 2 + y 2 ; (3) ey cos x; (4) cos x cosh y. 5. ❘ z = x+iy ✷❙ ❚ ❉❊✣✏ f(z) = u(x, y)+iv(x, y) ✑✒✓❳✕✓✸✌✷❯✱ f 0 (z) ✚ (1) u = x + y; (2) u = sin x cosh y. 6. ❨ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ❉❊✷❩ u − v = (x − y)(x 2 + 4xy + y 2 ), ❯✱ f(z) P 7. ❉✌✍▲▼✚ (1) sin z = 3 4 + i 4 ; (2) cos z = 4; (3) sin2 z − 3 2 sin z − 1 = 0; (4) tan z = i; (5) sinh z = 0; (6) 2cosh2 z − 3 cosh z + 1 = 0. 8. ❁❂✌✍✣✏✜❬❭✑❪✜❫❭✑✚ (1) √ z 2 − 1; (2) z + √ z − 1; (3) sin √ z; (4) cos √ z; (7)sin √ z √ z ; (8) cos √ z √ z ; (9) ln sin z; (10) sin i ln z . 9. ❴☞✌✍❫❭✣✏✑❵✴✷❇❛❜ z ❝❞❡❵✴❢❣❞❤✐❥❦❄❧✣✏❭✑✢♠P ✸✹✻✼❝♥❡✔♦❡✔♣qr❫❡❵✴❞❤✷✣✏❭s✸✩✢♠ t (1) p (z − a)(z − b), a 6= b; (2) r z − a z − b , a 6= b; (3) p3 (z − a)(z − b), a 6= b; (4) p3 (z − a) 2; (5) √ 1 − z 3; (6) √3 1 − z 3; (7) ln(z 2 + 1); (8) ln cos z. 10. ✱✌✍✣✏❃✉✈✴✑✇✓❅①②❭✚ (1) ln z, z = 1, i, −1, 1 + i; (2) z i , z = 2, i, −1,(1 + i). 11. ③✈✣✏ w = z √3 z − 2 ❃✪ 2.1 ④ ⑤⑥✽⑦✑ ✘✙✛ 0 ✷❯✱⑧✣✏❃⑤⑥✌⑦ z = 3 ❄✑✏❭P s⑨✚⑩ ❡✣✏❶★❡❬❭◆❵ t✱☞❃❈❷◆❵ ④ ⑤⑥✌⑦ z = 3 ❄✑✣✏❭P ❸ 2.1
图22 12.已知函数u=ln(1-2),规定v(0)=0,试讨论当z限制在图22(a)和(b)中的 u(3)值.若作割线如图22(c),则在割线上、下岸z=3处m又取何值? 13.反正切函数 arctan 2的定义为 若作割线如图2.3,并规定 arctan 22=0 求函数在z=2处的导数值 14.已知函数f(2)=2-P(1-2)P,-1<p<2.若在实轴上沿0到1作 割线,规定割线上岸argz=arg(1-2)=0,试求f(±)和f(∞) 15.若函数f(z)在区域G内解析,且其模为常数,证明f(z)本身也 必为常数 第三章复变积分 1.试按给定的路径计算下列积分: (1)/ Rez dz,积分路径为 (i)线段[0,2和2+组成的折线,(i)线段z=(2+i)t,0≤t≤1 规定va,=1=1,积分路径为由z=1出发的 (i)单位圆的上半周 i)单位圆的下半周 2.计算下列积分 3.计算下列积分 C分别为
Wu Chong-shi 4 ❹ ✂ ❸ 2.2 12. ❙ ❚ ✣✏ w = ln(1 − z 2 ) ✷③✈ w(0) = 0 ✷❯❛❜❺ z ✶❻❃✪ 2.2(a) ✗ (b) ④✑ w(3) ❭P❨❼⑤⑥✸✪ 2.2(c) ✷✺❃⑤⑥✽✔✌⑦ z = 3 ❄ w s②✩❭ t ❸ 2.3 13. ❽❾❿✣✏ arctan z ✑✈➀✛ arctan z ≡ 1 2i ln 1 + iz 1 − iz . ❨❼⑤⑥✸✪ 2.3 ✷❇③✈ arctan z z=0 = π, ✱✣✏❃ z = 2 ❄✑❆✏❭P 14. ❙ ❚ ✣✏ f(z) = z −p (1 − z) p , −1 < p < 2 P❨❃✒➁✽➂ 0 ❥ 1 ❼ ⑤⑥✷③✈⑤⑥✽⑦ arg z = arg(1 − z) = 0 ✷❯✱ f(±i) ✗ f(∞) P 15. ❨✣✏ f(z) ❃➃➄ G ➅❉❊✷❩❈✖✛✯✏✷❋ ● f(z) ➆➇➈ ➉ ✛✯✏P ✄➊✆ ✝✠➋➌ 1. ❯➍➎✈✑➏➐➑➒✌✍➓◆✚ (1) Z 2+i 0 Re z dz ✷➓◆➏➐✛✚ (i) ⑥➔ [0, 2] ✗ [2, 2 + i] →➣✑↔⑥ ✷ (ii) ⑥➔ z = (2 + i)t, 0 ≤ t ≤ 1; (2) Z C dz √ z P③✈ √ z z=1 = 1 ✷➓◆➏➐✛↕ z = 1 ☞➙✑✚ (i) ❬➛➜✑✽➝❤✷ (ii) ❬➛➜✑✌➝❤P 2. ➑➒✌✍➓◆✚ (1) I |z|=1 dz z ; (2) I |z|=1 |dz| z ; (3) I |z|=1 dz |z| ; (4) I |z|=1 dz z . 3. ➑➒✌✍➓◆✚ (1) I C 1 z 2 − 1 sin πz 4 dz ✷ C ◆❖✛✚