（3）与（2）对比得α, = b-n,(n = 0,±1,±2, ..)因此，有（1）在（2）中，如果当时n=1,2,3,..时，α=0，那么z=α是f(2)的可去奇点.（2）在（2）中，如果只有有限个（至少一个）整数n>0，使得α,0，那么z=是f(=)的极点.设对于正整数m，αm±0，而当n>m时，α,=0，那么我们称z=o是f(z)的m阶极点。（3）在（2）中，如果有无限个整数n>0，使得α，±0，那么称z=00是f(=)的本性奇点0n注2：我们也称Zα,"α,="，分别为级数≥α,=",的解-n=0=I析部分和主要部分注3：若==o0为f(=)的可去奇点，也说f(=)在无穷远点解析.注4：有限点的结论都可以推广到无穷远点的情形，有定理（Theorem)5.6设函数f(-)在无穷远点的邻域R=k+0（R≥0）内解析，则孤立奇点z=0为f(=)的可去奇点、极点、本性奇点的充分必要条件是存在着有限、无穷极限limf(2)、不存在有限或无穷的极限limf()11
11 （3）与（2）对比得 = ,( = 0,1,2, ) n b−n n 因此，有 （1）在（2）中，如果当时 n = 1,2,3, 时， n = 0 ，那么 z = 是 f (z) 的可去奇点. （2）在（2）中，如果只有有限个（至少一个）整数 n 0， 使得 n 0 ，那么 z = 是 f (z) 的极点.设对于正整数 m ， m 0 ， 而当 n m 时， n = 0 ，那么我们称 z = 是 f (z) 的 m 阶极点. （3）在（2）中，如果有无限个整数 n 0 ，使得 0 n ，那 么称 z = 是 f (z) 的本性奇点. 注 2：我们也称 , , 0 1 + = − = n n n n n n z z 分别为级数 , + n=− n n z 的解 析部分和主要部分. 注 3：若 z = 为 f (z) 的可去奇点，也说 f (z) 在无穷远点解 析. 注 4：有限点的结论都可以推广到无穷远点的情形，有 定理(Theorem)5.6 设函数 f (z) 在无穷远点的邻域 R | z | + （ R 0 ）内解析，则孤立奇点 z = 为 f (z) 的可去 奇点、极点、本性奇点的充分必要条件是存在着有限、无穷极 限 lim f (z) z→ 、不存在有限或无穷的极限 lim f (z) z→
1例7求函数f()=在的去心邻域内的洛朗展式，z(z-1)并指出其收级域解：因f(z)在1<zk+oo内解析，故在此领域内展为洛朗级数.111=1=+1z(z - 1) 2-1二H=0="N22Z2例8函数f(=)=1+2z+322+423是否以z=00为孤立奇点？若是，属于哪一类？解：函数f()=1+2z+32?+43在全平面上解析，式子本身就是f()在无穷远点的邻域|=+内的洛朗展式，所以z=α0是函数f(=）的孤立奇点且为三阶极点例 9函数()=—是否以≥=80为孤立奇点?sinz解：函数(a)=,在全平面上除sin≥的零点以外为解析，sinz一的但sinz的零点z=k元(k=0,±1,±2,)，它们都是f(z)=-sin z极点，且在扩充复平面上，序列=以z=80为聚点，因此一的孤立奇点。z=80不是函数f()=sin z12
12 例 7 求函数 ( 1) 1 ( ) − = z z f z 在 的去心邻域内的洛朗展式， 并指出其收级域. 解：因 f (z) 在 1 | z | + 内解析，故在此领域内展为洛朗级 数. + = + = + + = − = − = = − − = − = − 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 1 1 ( 1) 1 n n n n n n z z z z z z z z z z z z 例 8 函数 2 3 f (z) =1+ 2z + 3z + 4z 是否以 z = 为孤立奇点？ 若是，属于哪一类？ 解：函数 2 3 f (z) =1+ 2z + 3z + 4z 在全平面上解析，式子本身 就是 f (z) 在无穷远点的邻域 | z | + 内的洛朗展式，所以 z = 是函数 f (z) 的孤立奇点且为三阶极点. 例 9 函数 z f z sin 1 ( ) = 是否以 z = 为孤立奇点？ 解：函数 z f z sin 1 ( ) = 在全平面上除 sin z 的零点以外为解析， 但 sin z 的零点 z = k (k = 0,1,2, ) k ，它们都是 z f z sin 1 ( ) = 的 极点，且在扩充复平面上，序列 zk 以 z = 为聚点，因此 z = 不是函数 z f z sin 1 ( ) = 的孤立奇点
21$5.2留数留数的概念及留数定理、留数的求法、函数在无穷远点的的留数1、掌握留数定理及留数的求法2、正确理解函数在无穷远点的的留数3、了解留数的概念留数定理留数的求法讲授法法多媒体与板书相结合P32-13思考题：1，2，3.习题五：6-813
13 2 1 §5.2 留数 留数的概念及留数定理、留数的求法、函数在无穷远点的的留数. 1、掌握留数定理及留数的求法 2、正确理解函数在无穷远点的的留数 3、了解留数的概念 留数定理 留数的求法 讲授法 多媒体与板书相结合 P132−133 思考题：1，2，3.习题五：6-8